Espace vectoriel

[PhilT]

Bonjour

pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp

Dans montrer que les vecteurs et d'une part, et les vecteurs et d'autre part engendrent le même sous-espace vectoriel.

Compléter ( pour obtenir une base de .
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Comme les deux couples de vecteurs ne sont pas colinéaires, je suppose que le sev cherché est de dim.2, mais je ne vois pas comment trouver un sev commun à ces deux familles.

Pour la dernière question, je pense appliquer le tm de la base incomplète, en cherchant un 3ème vecteur tel que la famille (a,b,c) soit libre, une famille libre de 3 vecteurs d'un ev de dim 3 en étant nécessairement une base.

Merci par avance

[lionel52]

Tu as beaucoup de possiblités

1) Tu vérifies qu'il existe des réels x et y tels que c = x.a + y.b. Même chose pour d (c'est la possibilité la plus naturelle)
2) Tu vérifies que les déterminants de (a,b,c) et (a,b,d) sont nuls
3) Tu calcules le produit vectoriel e = a^b et tu vérifies que c.e = d.e = 0

...

[PhilT]

Merci lionel
Donc si j'ai bien compris, en écrivant : c = 2a - b et d = a + 3b, on peut conclure que les familles (a;b) et (c;d) engendrent le même sev dont (a;b) est une base ?

[lionel52]

Presque! Tu en déduis que le sev engendré par (c,d) est inclus dans le sev engendré par (a,b)
Pour la réciproque soit tu fais le chemin à l'envers en exprimant (a,b) en fonction de (c,d), soit tu utilises un argument de dimension en disant que les dimensions des 2 sev sont égales à 2!

[zygomatique]

salut

ouais enfin il est trivial que les deux familles (a, b) d'une part et (c, d) d'autre part sont libres ... puisque a et b (resp. c et d) ne sont pas colinéaires ...

[PhilT]

salut

ouais enfin il est trivial que les deux familles (a, b) d'une part et (c, d) d'autre part sont libres ... puisque a et b (resp. c et d) ne sont pas colinéaires ...

Merci pour vos réponses.

>> Zygomatique ; dans quelle mesure le fait (évident, en tout cas facilement visible) que les 2 familles soient des familles libres, donc formées de vecteurs non colinéaires, permet de conclure qu'elles engendrent le même sev de ?
Merci de me dire, ça m'intéresse de comprendre.

[zygomatique]

si la famille (u, v) est liée alors il existe des réels non tous les deux nuls tels que au + bv = 0

et par exemple si a 0 alors u = (b/a)v u et v sont colinéaires ...

or les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles ....

donc ici (a,b) et (c, d) engendrent toutes deux un sous-ev de dim 2 ...


ensuite évidemment le fait que c et d sont combinaison linéaire de a et b suffit pour conclure ....

[PhilT]

D'accord, merci

ensuite évidemment le fait que c et d sont combinaison linéaire de a et b suffit pour conclure ....

et réciproquement, comme me l'a indiqué Lionel. Je pense qu'il faut établir la double inclusion : les vecteurs du sev engendré par c et d sont des vecteurs du sev engendré par a et b, et réciproquement, ce que j'ai établi.

Merci pour vos conseils et commentaires

[chan79]

salut
on peut comparer a^b (-7;3;-5) et c^d (-49;21;-35)

[PhilT]

Merci Chan ; mais je crois qu'une démonstration par le produit vectoriel n'était pas attendue compte tenu du cours auquel l'exercice est associé.

[chombier]

Bonjour

pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp

Dans montrer que les vecteurs et d'une part, et les vecteurs et d'autre part engendrent le même sous-espace vectoriel.

Compléter ( pour obtenir une base de .
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Comme les deux couples de vecteurs ne sont pas colinéaires, je suppose que le sev cherché est de dim.2, mais je ne vois pas comment trouver un sev commun à ces deux familles.

Pour la dernière question, je pense appliquer le tm de la base incomplète, en cherchant un 3ème vecteur tel que la famille (a,b,c) soit libre, une famille libre de 3 vecteurs d'un ev de dim 3 en étant nécessairement une base.

Merci par avance

Une idée comme une autre :

tu prouves que et que

Ainsi, l'ev engendre par c et d est inclus dans celui engendré par a et b. Et comme ils sont tous deux de dimension 2, ils sont identiques.

[zygomatique]

D'accord, merci



et réciproquement, comme me l'a indiqué Lionel. Je pense qu'il faut établir la double inclusion : les vecteurs du sev engendré par c et d sont des vecteurs du sev engendré par a et b, et réciproquement, ce que j'ai établi.

Merci pour vos conseils et commentaires

non il n'y a pas besoin de montrer la double inclusion vu qu'ils sont tous les deux de dimensions 2 ....