Espace vectoriel

[Ncdk]

Bonsoir,

J'avais quelques questions qui sont élémentaires je pense, mais pour moi j'ai besoin de ces précisions.

Déjà je me demandais si un espace vectoriel est un groupe ?

J'ai aussi un petit soucis pour visualiser ce qu'est un espace vectoriel, car en fait j'aimerais faire le parallèle entre un espace vectoriel et un espace affine, pour voir en réalité ce qui les différencie, j'ai un peu de mal à visualiser cette notion, pourriez-vous m'expliquer, ou me donner des liens que vous trouvez bien fait ?

Merci d'avance :)

[Doraki]

oui un espace vectoriel est un groupe.
C'est un groupe commuatif, où en plus de ça on a une multiplication externe K * E -> E où K est le corps sur lequel E est un espace vectoriel.

Un espace affine A c'est en quelque sorte un espace vectoriel E "translaté".
Tu ne peux plus additioner de points et tu ne peux plus multiplier, mais par contre tu peux "soustraire" 2 points de A pour obtenir un vecteur (un élément de E). Et tu peux ajouter un vecteur à un point pour obtenir un autre point.
Ainsi si tu as un point particulier P de ton espace affine, tu as une bijection entre A et E donnée par Q -> Q-P (dont la réciproque est donnée par u -> P+u).
On peut aussi dire qu'un espace affine c'est un espace vectoriel où on a "oublié" l'origine.

[Ncdk]

D'accord merci, et qu'est-ce que tu entends par "translaté" ?

[Sylviel]

Une droite ou un plan (de R^3) passant par l'origine est un espace vectoriel, si ça ne passe pas par l'origine c'est un espace affine.

Si dans un espace affine E tu te donnes un point A, alors l'ensemble des éléments de la forme x - A (où x appartient à E) forment un espace vectoriel.

[Ncdk]

Une droite ou un plan (de R^3) passant par l'origine est un espace vectoriel, si ça ne passe pas par l'origine c'est un espace affine.

Si dans un espace affine E tu te donnes un point A, alors l'ensemble des éléments de la forme x - A (où x appartient à E) forment un espace vectoriel.

Pour la droite, ou le plan, ce que vous appelez origine est-ce que c'est l'élément neutre de l'espace vectoriel ? ou alors l'origine n'a aucun lien avec l'élément neutre ?

Et donc un espace affine pour R^3, est une droite ou un plan qui ne passe pas par l'origine ?

Ensuite du coup, si on se trouve dans un espace affine, étant donné qu'on ne peut pas rencontrer l'origine dans cette espace, l'ensemble des éléments de la forme x-A (avec x appartenant à E) ça forme un espace vectoriel mais du coup pour ce cas c'est seulement de dimension 1 ?

Mais une question me turlupine, pour définir un espace vectoriel, il faut un élément neutre, mais comment on peut le déterminer l'élément neutre de l'espace vectoriel formé par x-A, sachant que l'on se trouve dans un espace affine ?

[Doraki]

l'ensemble des éléments de la forme x-A (avec x appartenant à E) ça forme un espace vectoriel mais du coup pour ce cas c'est seulement de dimension 1 ?

tu ne peux pas soustraire un point d'un vecteur enfin, ça n'a pas de sens.

Tu peux seulement soustraire un point à un point (pour obtenir un vecteur), ou un vecteur à un point (pour obtenir un point)

[paquito]

Un espace est un espace affine de direction l'espace vectoriel s'il existe une application de qui à associe , telle que:

1) ,

2)Pour tout

La dimension de l'espace affine E est celle de F.

A l'époque des maths modernes,on voyait cette définition en T°C et avant on ne faisait que de la géométrie vectorielle!

Et comme exemple d'espace affine de direction V, on avait V!