Espace vectoriel

[SLA]

Bah .. je cherche une version de ce théorème dans un Hilbert. C'est la même chose que dans un espace métrique complet ? rien ne change ?

Ben oui, la distance est donnée par la norme...
Je suis pas sur de bien comprendre ce que tu cherches. Ce théorème te donne l'existence et l'unicité d'un point fixe, je ne vois pas ce que ça pourrait apporter de plus d'être sur un EVN voire d'avoir un produit scalaire.
Pour te citer d'autres théorème de point fixe, on a Brouwer et Schauder.

[barbu23]

Oui, je connais le théorème du point fixe de Brouwer à travers la topologie algébrique. et sa démonstration s'appuie sur des outils en lien avec la théorie de l'homologie. Enfin .. J'ai vu qu'il existe plusieurs façon de le démontrer si ma mémoire est bonne. :happy3:

Edit : enfin, Shauder ça fait même pas 15 jours, que j'ai vu sur le net, qu'il s'agit de toute une théorie où on introduit la notion de degré topologique, c'est un peu compliqué à saisir, en plus je n'ai pas eu le temps de lire cette théorie en entier pour comprendre sa philosophie. :happy3:

[SLA]

Oui, je connais le théorème du point fixe de Brouwer à travers la topologie algébrique. et sa démonstration s'appuie sur des outils en lien avec la théorie de l'homologie. Enfin .. J'ai vu qu'il existe plusieurs façon de le démontrer si ma mémoire est bonne. :happy3:

Edit : enfin, Shauder ça fait même pas 15 jours, que j'ai vu sur le net, qu'il s'agit de toute une théorie où on introduit la notion de degré topologique, c'est un peu compliqué à saisir, en plus je n'ai pas eu le temps de lire cette théorie en entier pour comprendre sa philosophie. :happy3:

Ben alors, t'en connais d'autres des théorèmes de point fixe.
Leur différences réside dans la force des hypothèses (et donc des conclusions):
Banach-Picard: complet (hypothèse faible), f contractante (hypothèse forte) => existence et unicité du point fixe et même les itérés convergent vers ce point fixe) (résultat super fort).
Schauder: compacité (plus fort que complet mais plus faible que dimension finie), f continue (hypothèse faible) => existence du point fixe (pas unicité) (résultat plus faible)
Brouwer: dimension finie (hypothèse super forte), f continue (hypothèse faible) => existence du point fixe (non unicité).

[barbu23]

Ahhh merci pour ces informations. :happy3:
Mais, à quoi sert d'étudier les points fixes . Ont-ils une utilité fondamentale en maths ?
Moi, j'ai lu il y'a très longtemps que quelqu'un a reçu le prix Nobel en économie en démontrant un résultat qui s'appuie sur la recherche des points fixes, ou sur l'utilisation des théorèmes du point fixe, je ne sais pas. Je ne sais pas si cette information est vraie. :hein:

[SLA]

Ahhh merci pour ces informations. :happy3:
Mais, à quoi sert d'étudier les points fixes . Ont-ils une utilité fondamentale en maths ?
Moi, j'ai lu il y'a très longtemps que quelqu'un a reçu le prix Nobel en économie en démontrant un résultat qui s'appuie sur la recherche des points fixes, ou sur l'utilisation des théorèmes du point fixe.
Je ne sais pas si cette information est vraie. :hein:

Le théorème de Cauchy-Lipschitz se démontre avec le théorème de Banach-Picard. Plus généralement les solutions d'EDP sont "souvent" obtenues comme point fixe de fonctionnelles d'espaces de dimension infinie (Cl ou Schauder), ou comme limite de solutions en dimension finie (Méthode de Galerkin). Dasn ces cas, l'unicité des solutions est à obtenir autrement.
On peut faire des fractales avec des systèmes de fonctions itérées (donc encore Banach-Picard).
Et c'est aussi à la base des systèmes dynamiques.

Donc oui, ça a une utilité fondamentale en maths.

[barbu23]

Ah oui, c'est vrai, je connais le théorème de Cauchy - Lipschitz qui cherche à démontrer l'existence et l'unicité d'une solution d'une EDO de 1 er degré sur un domaine maximal. Mais, je ne me souviens pas de sa démonstration. :cry:
Merci pour ce temps que tu m'as accordé pour répondre à toutes ces interrogations. Tu es un homme gentil. :happy3:
Au départ, tu étais trop rude avec moi, mais ce n'est pas la face réelle de ta vrai personnalité et de ton vrai caractère. :we:
Et encore une fois merci pour cette discussion passionnante avec toi. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[barbu23]

Schauder: compacité (plus fort que complet mais plus faible que dimension finie), f continue (hypothèse faible) => existence du point fixe (pas unicité) (résultat plus faible)
Brouwer: dimension finie (hypothèse super forte), f continue (hypothèse faible) => existence du point fixe (non unicité).

Re-Bonsoir à tous,

@SLA : Je n'ai pas compris le genre d'hiérarchie que tu as choisi de faire dans l'ordre : dimension finie < compact < complet.

Je sais que un compact dans un complet est complet
Je sais que tout sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel est complet.
Par contre, je ne comprends pas pourquoi un espace vectoriel de dimension finie est dans un compact.
Ce que je sais est que en dimension finie, la boule unité fermé est compact.
Les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont les bornés fermés. :happy3:
Pourquoi après l'univers des dimensions finies, vient celui des compacts ?

[Ben314]

Juste un petit coucou pour signaler que (évidement...) compact plus "fort" que complet, ça me semble... discutable...
Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

[Ben314]

Je sais que un compact dans un complet est complet -> mais c'est un peu con dit comme ça vu que tout fermé d'un complet est déjà complet
Je sais que tout sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel est complet. -> C'est de nouveau, c'est un peu con dit comme ça vu que ça revient simplement à dire que tout e.v.n. de dim fini est complet
Par contre, je ne comprends pas pourquoi un espace vectoriel de dimension finie est compact. -> Pas éttonant vu que c'est complètement faux : R n'est pas évidement pas compact
Ce que je sais est que en dimension finie, la boule unité fermé est compact. -> OUI !!!! :zen:
Les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont les bornés fermés. -> (re)OUI !!!! :king2:

[barbu23]

Je sais que tout sous espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel est complet. -> C'est de nouveau, c'est un peu con dit comme ça vu que ça revient simplement à dire que tout e.v.n. de dim fini est complet -> J'ai dit ça parce que, si tu relis ce que j'ai écrit à la fin de mon message, lorsqu'on quitte l'univers des dimensions finies pour aller vers le haut transcendant, on se retrouve dans l'univers des compacts d'après SLA ( non ? ce n'est pas ça ce que tu as voulu dire ? ). Donc, il n'y'a plus de dimension finie dans l'univers des compacts d'après SLA ( non ? ce n'est pas ça ce que tu as voulu dire ? ).

[barbu23]

Juste un petit coucou pour signaler que (évidement...) compact plus "fort" que complet, ça me semble... discutable...
Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Comment construis tu la topologie faible sur dont tu parles ( tu dis que c'est sa topologie produit, pourquoi ? ) ?.
Merci d'avance. :happy3:

Edit : La topologie produit de l'espace est la topologie qui contient le moins d'ouverts possible qui rend les projections canoniques continues.
La topologie faible de l'espace est la topologie qui contient le moins d'ouverts possible qui rend les éléments du dual topologique de continues.
Existe -t-il une correspondance biunivoque entre l'espace des projections canoniques sur et l'espace des formes linéaires continues sur ?

[barbu23]

Juste un petit coucou pour signaler que (évidement...) compact plus "fort" que complet, ça me semble... discutable...
Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Comment construis tu la topologie faible sur dont tu parles ( tu dis que c'est sa topologie produit, pourquoi ? ) ?.
Merci d'avance. :happy3:

Edit : La topologie produit de l'espace est la topologie qui contient le moins d'ouverts possible qui rend les projections canoniques continues.
La topologie faible de l'espace est la topologie qui contient le moins d'ouverts possible qui rend les éléments du dual topologique de continues.
Existe -t-il une correspondance biunivoque entre l'espace des projections canoniques continues sur et l'espace des formes linéaires continues sur ?

[Ben314]

Je n'ai pas dit que c'était la "topologie faible" (ce qui, au sens ou tu l'entend, ne voudrait rien dire ici vu qu'on n'est absolument pas dans le cadre des espace vectoriels normés),
mais la "topologie de la convergence faible" ou si tu préfère, la topologie de la convergence simple (ou ponctuelle) : une suite de fonction fn C.V. vers f ssi, pour tout x fn(x) C.V. vers f(x).

Et quand je dit que "c'est la topologie produit" c'est parce que... c'est la définition de la topologie produit... (qui équivaut à "la topologie la moins fine qui rend les projections continues")

Et concernant ta dernière question elle ne veut (de nouveau... :hum:) rien dire : [0,1] n'est évidement pas un espace vectoriel donc il n'y a pas de notions de forme linéaires...

[barbu23]

J Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Pourquoi la topologie produit est faible par rapport à la topologie de convergence uniforme ?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Grilled. :happy3:

[barbu23]

Et concernant ta dernière question elle ne veut (de nouveau... :hum:) rien dire : [0,1] n'est évidement pas un espace vectoriel donc il n'y a pas de notions de forme linéaires...

n'est pas un espace vectoriel, mais : est un espace vectoriel. :happy3:
Tu as mal lu ce que j'ai écrit. :happy3:

... par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Il y'a une différence entre la notion de convergence faible et la notion de convergence simple. Et il se trouve qu'ici ( à mon avis ) il s'agit de la convergence faible et non de la convergence simple. :happy3:

[Ben314]

n'est pas un espace vectoriel, mais : est un espace vectoriel. :happy3:

Ah bon ?
L'opposée d'une fonction de [0,1] dans [0,1] est une fonction de [0,1] dans [0,1] ??? :briques:

[barbu23]

D'accord. :happy3:

J Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Pourquoi la topologie produit est faible par rapport à la topologie de convergence uniforme ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Parce que tout ouvert pour la topologie de le C.V. simple est un (cas particulier) d'ouvert pour la topo de la C.V. uniforme et que, dans ce cas, on dit que la topo de la C.V.U est "plus fine" que la topo de la C.V. simple.

Tu n'a jamais vu que, si une suite de fonction C.V.U. vers une fonction donnée alors elle converge simplement vers cette fonction ?

[barbu23]

Parce que tout ouvert pour la topologie de le C.V. simple est un (cas particulier) d'ouvert pour la topo de la C.V. uniforme et que, dans ce cas, on dit que la topo de la C.V.U est "plus fine" que la topo de la C.V. simple.

Tu n'a jamais vu que, si une suite de fonction C.V.U. vers une fonction donnée alors elle converge simplement vers cette fonction ?

Non, j'ai vu ça. Ce que je n'ai pas vu est pourquoi la topologie produit coïncide avec la topologie de convergence simple. :happy3: ( Je viens de relire une partie de ce que tu as écrit quelques messages plus haut et qui dit que la topologie produit coincide avec la topologie simple. J'ai pas vu ou compris ce passage quant je l'ai vu pour la première fois ). :happy3:

[Ben314]

Regarde là http://fr.wikipedia.org/wiki/Convergence_simple par exemple (tu trouvera aussi ça dans tout bouquin de topo. que se respecte)