Espace vectoriel

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:

Soit le - espace vectoriel de dimension infinie des fonctions continues de dans que l'on munit d'une base qui existe d'après le lemme de Zorn.
Soient : définies par : .
Il est facile de montrer que est une famille libre de .
Pourquoi n'est pas une base de ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ton , il désigne le dual algébrique de ?

Si oui, que peut-tu dire de l'application linéaire définie par pour tout ?

[barbu23]

Ton , il désigne le dual algébrique de ?

Je ne sais pas.
L'énoncé ne précise pas s'il s'agit du dual algébrique ou topologique. L'auteur s'adresse particulièrement à des étudiants qui n'ont comme prérequis que des notions sur les espaces vectoriels de dimension finies, et non infinies. :we:

[barbu23]

Ton , il désigne le dual algébrique de ?

Je ne sais pas.
L'énoncé ne précise pas s'il s'agit du dual algébrique ou topologique. L'auteur s'adresse particulièrement à des étudiants qui n'ont comme prérequis que des notions sur les espaces vectoriels de dimension finies, et non infinies. :we:

Si oui, que peut-tu dire de l'application linéaire définie par pour tout ?

est linéaire et de la forme : avec : .
Il faut montrer peut être qu'elle n’appartient pas l'image de l'application linéaire naturelle : , non ?

[barbu23]

Je ne sais pas le faire. :happy3:

[Ben314]

Je pense aussi qu'il s'agit du dual algébrique vu que l'énoncé ne parle pas de topologie sur l'espace vectoriel de départ.

Ensuite, si la fonction était dans le s.e.v. engendré par les ça voudrait dire (par définition du s.e.v. engendré par) qu'elle s'écrit comme combinaison linéaire finie des , c'est à dire que où est une partie finie de .

Or est infini (sans doute démontré dans une question précédente...) donc...

[barbu23]

Je pense aussi qu'il s'agit du dual algébrique vu que l'énoncé ne parle pas de topologie sur l'espace vectoriel de départ.

Ensuite, si la fonction était dans le s.e.v. engendré par les ça voudrait dire (par définition du s.e.v. engendré par) qu'elle s'écrit comme combinaison linéaire finie des , c'est à dire que où est une partie finie de .

Ah d'accord, c'était facile. :happy3:
Merci @Ben314. :happy3:

Or est infini (sans doute démontré dans une question précédente...) donc...

Non, il n'y'a pas ça dans l'énoncé. :happy3:
Peut être qu'il faut d'abord montrer que qui est de dimension infinie s'injecte dans , non ?
Merci quant même. :happy3:

[barbu23]

Voici la suite de la question :

- Existe -t-il une base de telle que : définie par : , soit nulle sur tous les vecteurs de la base sauf un ?.

Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[Ben314]

Peut être qu'il faut d'abord montrer que qui est de dimension infinie s'injecte dans

Je vois pas l'intérêt par rapport à démontrer directement que l'e.v. en question est de dimension infinie. (Et en plus, si tu injecte un truc dans un bidule, ça ne permet en général que de faire des majoration sur le truc)

De toute façon, pour montrer que est de dimension infinie, c'est trivial : il suffit de considérer les fonctions pour qui forment clairement une famille libre.
Tu peut même démontrer "à la main" qu'il n'y a pas de base dénombrable en considérant la famille libre des où

[Ben314]

Soit une base quelconque de .
Il y a au moins un tel que (sinon F serait nulle sur E tout entier ce qui n'est clairement pas le cas)
Pour tout , on pose
. . .

[barbu23]

Bonsoir @Ben314 :

Excuse moi de mettre beaucoup de temps avant de venir te répondre, j'étais obligé d'aller finir un petit boulot en dehors de chez moi.

Et merci à toi d'avoir répondu à la dernière question que j'ai posé sur ce fil. ça n'était pas difficile en fait. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[barbu23]

ça je l'ai pas bien compris.

Je vois pas l'intérêt par rapport à démontrer directement que l'e.v. en question est de dimension infinie. (Et en plus, si tu injecte un truc dans un bidule, ça ne permet en général que de faire des majoration sur le truc)

Pour montrer que est infini, c'est à dire que la base est infini, c'est à dire que : est dimension infini, il suffit de montrer que qui est de dimension infinie, s'identifie par une application linéaire injective, à un sous espace vectoriel de , non ?
Où est plus précisément l'erreur dans ce que je dis ?
J'applique la même propriété en dimension finie qui dit que si est une application linéaire injective avec et sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors : . Je ne sais pas si elle marche aussi en dimension infinie. :happy3:

[Ben314]

ça je l'ai pas bien compris.

Pour montrer que est infini, c'est à dire que la base est infini, c'est à dire que : est dimension infini, il suffit de montrer que qui est de dimension infinie, s'identifie par une application linéaire injective, à un sous espace vectoriel de , non ?
Où est plus précisément l'erreur dans ce que je dis ?
J'applique la même propriété en dimension finie qui dit que si est une application linéaire injective avec et sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors : . Je ne sais pas si elle marche aussi en dimension infinie. :happy3:

Le truc en rouge, sauf erreur, c'est justement ce que tu moulais démontrer non ?
Et concernant la fin, c'est EXACTEMENT ce que je te disait, à savoir que pour montrer que dim(E)=+oo, c'est pas en le majorant que tu arrivera à quoi que ce soit.

Visiblement tu fait comme si le but du jeu était de montrer que le dual de E est de dimension infini sachant que E l'est déjà. Sauf que... c'est pas ça la question... (relit mon post : la question c'était de savoir si, dans une question précédente, on avait montré que E était de dimension infinie)

[barbu23]

(relit mon post : la question c'était de savoir si, dans une question précédente, on avait montré que E était de dimension infinie)

Oui, c'est la première question du TD que je suis entrain de travailler. :happy3:
La question dit :
- Montrer que : est de dimension infinie. :happy3:

[Ben314]

- Montrer que : est de dimension infinie. :happy3:

Réponse dans le post de 21h11 (et même 2 pour le prix d'une... :ptdr: )

[barbu23]

:lol3: :we:
Merci @Ben314 :
J'aimerais que tu me dises : qu'est ce qui différencie le dual algébrique d'un espace vectoriel topologique du dual topologique. Est ce que c'est la topologie ? J'ai complètement oublié cette notion de dualité que j'ai vu il y'a très longtemps quant j'étudiais les espaces en théorie de la mesure ( et une deuxième fois lorsque j'étudiais le calcul différentiel ( Chapitre : applications linéaires ) ). ça fait très longtemps. ça fait longtemps que je ne utilise pas cette notion.
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Ben314 : :happy3:
Si l'énoncé précisait qu'en réalité : est le dual topologique de . Est ce que dans ce cas là : est une base de : ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Dans ce cas, tout va (évidement) dépendre de la topologie que tu met sur l'espace E de départ...

Par exemple (le cas "favorable" par excellence), si ta topologie sur E est issue d'une norme elle même issue d'un produit scalaire et que ton espace est complet pour cette norme alors tu as sous les yeux un joli "espace de Hilbert" et il est isomorphe à son dual.
Dans la plupart des (nombreux) autres cas, c'est faux : l'espace E n'est pas isomorphe à son dual.

Regarde là si tu veut :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dual_topologique

En plus, dans le cas d'espace vectoriels topologiques, il me semble bien que d'utiliser des bases algébriques (c'est à dire des bases normales), ça ne mène pas à grand chose vu que ça ne tient pas compte de la topologie.
Par exemple, tes dans le cas du dual topologique, aussi bien il ne même pas dedans vu que je vois aucune raison pour qu'ils soient continus.

P.S. Barbu, je pense que ta façon de bosser n'est pas terrible : avant de passer à "plus compliqué", essaye de maitriser correctement les bases du domaine qui t'intéresse : le cas ici où tu demande ce qu'il se passe pour les dans le dual topologique sans même réfléchir au fait qu'il risquent de ne pas en faire parti est un peu symptomatique de ta façon de faire...

[barbu23]

Dans ce cas, tout va (évidement) dépendre de la topologie que tu met sur l'espace E de départ...

Par exemple (le cas "favorable" par excellence), si ta topologie sur E est issue d'une norme elle même issue d'un produit scalaire et que ton espace est complet pour cette norme alors tu as sous les yeux un joli "espace de Hilbert" et il est isomorphe à son dual.

Juste un tout petit truc que je cherche à comprendre : ( Question peut être stupide ).
... S'il est isomorphe à son dual, alors, est ce que cela signifie que : est une base de . Parce que il se peut qu'il ait un isomorphisme sans que : ne soit une base de il me semble, non ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

P.S. Barbu, je pense que ta façon de bosser n'est pas terrible : avant de passer à "plus compliqué", essaye de maitriser correctement les bases du domaine qui t'intéresse : le cas ici où tu demande ce qu'il se passe pour les dans le dual topologique sans même réfléchir au fait qu'il risquent de ne pas en faire parti est un peu symptomatique de ta façon de faire...

Oui, je sais, mes connaissances en maths sont un peu mal organisé, et éparpillé d'un domaine à l'autre. J'essaye de suivre ce conseil, mais, je n'arrive pas à le faire dans le concret. Il me faut un peu de volonté que je n'arrive pas à avoir. parce que, j'ai pris un rythme d'apprentissage qui a franchi le bagage mathématique de fin de Master et que je n'arrive pas à abandonner ce rythme. Mon centre d’intérêt se situe au niveau de la conjecture de Hodge, et je ne peux pas abandonner ce petit monde et les idées qui les caractérisent pour retourner voir les bases et y consacrer du temps.
Mais, je ferai de mon mieux prochainement pour suivre tes conseils. Peux être que je prendrai goût aux bases que je ne saisis pas encore, à l'avenir. :happy3: