Espace vectoriel

[barbu23]

Difficile de comprendre ce que tu écris Ben314. :dodo:

[barbu23]

Ah d'accord, je l'ai vu maintenant. C'est la première fois que je rencontre un truc pareil. :happy3:
J'ai lu au minimum 100 bouquin de topo dans ma vie, et je ne suis jamais tombé sur un qui dit que la topologie produit et la topologie de CS coïncident. :happy3:

Juste un petit coucou pour signaler que (évidement...) compact plus "fort" que complet, ça me semble... discutable...
Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

D'abord de quel ensemble tu parles, et pourquoi il est complet ?

Edit : D'accord, j'ai compris. est complet pour la norme uniforme, parce que : est complet pour la norme usuelle induite par , non ?

[barbu23]

Pourquoi un compact n'est pas forcément métrisable ?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Forte ... , Faible ... ,bref, je n'ai rien compris un seul mot de ce que tu dis Ben314. :happy3:

[SLA]

Juste un petit coucou pour signaler que (évidement...) compact plus "fort" que complet, ça me semble... discutable...
Un compact n'est pas forcément métrisable et, par exemple la topo. produit sur (qui est compact par Tychonoff) je dirais pas qu'elle est "forte" (c'est la topo de... la convergence faible) par rapport à la topo de la C.V. uniforme sur le même ensemble qui elle en fait un espace complet.

Salut à vous,
Beaucoup de choses ont été dites hier soir, ça fait beaucoup de réponses à apporter.
Tout d'abord, oui les espaces de dimension finie ne sont pas compact (car non bornés). Ce que je voulais dire pour Brouwer c'est que c'est un théorème qui s'applique en dimension finie.
Ce théorème dit qu'une fonction continue (pour la métrique usuelle) qui va de la boule unité dans la boule unité admet un point fixe. (On étend le résultat ensuite aux convexes compacts).
La dimension finie assure que les fermés bornés sont exactement les compacts.
Dans le cas de Schauder (que je ne connais que dans le cas Banach, mais Wikipedia me dit qu'il est plus général) On ne peut plus prendre la boule unité (qui n'est pas compacte par le théorème de Riesz). On est obligé de travailler sur un ensemble d'adhérence compacte.
Le nerf de la guerre c'est donc la compacité. Or les compacts en dimension infinie, c'est pas toujours drôle. Personnelement je ne sais traiter que les espaces de fonctions et pour on a Ascoli (On a aussi Riesz-Frechet-Kolmogorov, mais c'est une conséquence d'Ascoli). La dimension finie facilite grandement la détermination des compacts.

Enfin concernant les topologies non métrisables, je connais bien cet exemple. D'ailleurs dès que c'est pas métrisable, la compacité ça devient rigolo. Ton exemple est même le prototype d'espace compact mais non séquentiellement compact (de toute suite, on peut extraire une sous-suite convergente). Et il existe également des espaces séquentiellement compacts mais non compact.

Et comme je travaillais avec des espaces métriques (sans le préciser, certes), je persiste à dire qu'un espace compact est complet (Une suite de Cauchy avec une extraction convergente est convergente).

[SLA]

Pourquoi un compact n'est pas forcément métrisable ?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Forte ... , Faible ... ,bref, je n'ai rien compris un seul mot de ce que tu dis Ben314. :happy3:

Le compacité est une notion topologique. Et comme les topologies ne sont pas toutes métrisables...

[barbu23]

Merci pour ces précisions et cet éclairage SLA. :happy3:
Cordialement. :happy3: