Espace vectoriel

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Une autre question si vous me permettez :

Si on suppose que : est le dual algébrique de : et sa base définie comme plus haut, puisque : : la projection sur la i-ème coordonnées, alors : est continue, non ? ( Je ne sais pas pour quelle topologie ), donc, est une base du dual topologique , non ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements. :happy3:

[Ben314]

est continue ( je ne sais pas pour quelle topologie )

ça ne veut évidement rien dire du tout : tu prend une fonction absolument quelconque d'un ensemble X dans R, il y a évidement des topologie sur X telles que f soit continue (par exemple la topologie discrète) donc si tout ce qu'on sait, c'est que f est continue pour "une certaine topologie", ben ça veut très précisément dire... qu'on ne sait absolument rien sur f...

donc, est une base du dual topologique , non ?

Ben non : on n'a même pas le début de la moitié de la moindre idée de ce qu'il se passe vu qu'on ne sait pas quelle topologie on a pris sur l'espace de départ :
- Il est tout à fait possible que les ne soient pas dans le dual topologique en question (ça dépend de la topologie mise sur E)
- Et même si il sont tous dedans, bien que formant une famille libre, il est fort probable qu'ils ne forment pas une partie génératrice du dual topologique (ça va de nouveau dépendre de la topologie mise sur E...)

[barbu23]

Merci. Je ne comprends pas bien cette phrase :

... Et même si il sont tous dedans, bien que formant une famille libre, il est fort probable qu'ils ne forment pas une partie génératrice du dual topologique (ça va de nouveau dépendre de la topologie mise sur E...)

Pourquoi ? Je ne comprends pas pourquoi ça va dépendre de la topologie de .
Si on muni le duale topologique de la topologie qui rend tous les éléments de la famille libre : continues , alors, est ce que cela signifie que : est une base du duale topologique ? et pourquoi ?
Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Merci. Je ne comprends pas bien cette phrase :

Pourquoi ? Je ne comprends pas pourquoi ça va dépendre de la topologie de .
Merci d'avance. :happy3:

C'est ce que Ben314 a voulu dire ici:

En plus, dans le cas d'espace vectoriels topologiques, il me semble bien que d'utiliser des bases algébriques (c'est à dire des bases normales), ça ne mène pas à grand chose vu que ça ne tient pas compte de la topologie.
Par exemple, tes dans le cas du dual topologique, aussi bien il ne même pas dedans vu que je vois aucune raison pour qu'ils soient continus.

P.S. Barbu, je pense que ta façon de bosser n'est pas terrible : avant de passer à "plus compliqué", essaye de maitriser correctement les bases du domaine qui t'intéresse : le cas ici où tu demande ce qu'il se passe pour les dans le dual topologique sans même réfléchir au fait qu'il risquent de ne pas en faire parti est un peu symptomatique de ta façon de faire...

Par ailleurs, comme le disait Ben314, il existe pas mal de topologies qui rendent les e_i continues. Il t'a cité la topologie discrète (tout le monde y est continu), mais on peut aussi mettre la topologie initiale engendrée par les e_i.

Dans tous les cas, ces topologies ne "voient" pas la structure algébrique.

En fait, est un espace trop gros pour qu'on cherche à travailler dessus. On lui préférera C_b (continues bornées), C_0 (continues de limite nulle en l'infini), L^p, qui sont certes plus petit mais pour lesquels on a bien assez à faire avec.

[barbu23]

Merci beaucoup SLA pour ta réponse : :happy3:
Et cette question là :

Juste un tout petit truc que je cherche à comprendre : ( Question peut être stupide ).
... S'il est isomorphe à son dual, alors, est ce que cela signifie que : est une base de . Parce que il se peut qu'il ait un isomorphisme sans que : ne soit une base de il me semble, non ?
Merci d'avance. :happy3:

?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Est ce que si est une base de , alors : n'est pas une base de avec : ?

Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Juste un tout petit truc que je cherche à comprendre : ( Question peut être stupide ).
... S'il est isomorphe à son dual, alors, est ce que cela signifie que : est une base de . Parce que il se peut qu'il ait un isomorphisme sans que : ne soit une base de il me semble, non ?
Merci d'avance. :happy3:

Ben non, si je ne m'abuse tu as montré que si I est infini, alors la famille e_i^* n'est pas une base (elle n'est pas génératrice).
En fait la topologie des EVN se comporte bien avec les bases algébriques seulement en dimension finie.
-Par exemple, les espaces de dimension finies (sur un corps complet) sont complets.
-Dès qu'un espace est à base algébrique dénombrable, il ne peut plus être complet (conséquence du théorème de Baire), et ça craint.

Donc en dimension infinie, comme on aime bien les complet, on "abandonne" la notion de base algébrique, au profit par exemple des bases de Hilbert (attention, ce ne sont pas des bases algébriques).
En revanche ce qu'on peut faire c'est chercher une suite croissante d'espace de dimension finie dont l'adhérence de l'union soit dense, c'est ce qu'on fait dans des stratégies de type éléments finis.

[Ben314]

Non :
1) Si E est un e.v. (sans topologie) de dim infinie, une base de E, et (dual algébrique forcément) définie sur la base de E par alors (même preuve qu'au dessus) ne peut pas être compinaison linéaire finie des donc les ne forment JAMAIS une base de

2) Il est tout à fait possible que soit de même "dimension" (infinie) que , c'est à dire que, si est une base de les deux ensembles et soit équipotents donc que l'on ait une bijection .
Dans ce cas, l'application linéaire définie (sur la base de ) par est clairement un isomorphisme de sur .


Edit : Grilled... :lol3:

[barbu23]

Merci à vous tous Ben314 et SLA : :happy3:
Et pour cette dernière question là :

Edit : Est ce que si est une base de , alors : n'est pas une base de avec : ?

?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Peut on écrire le vecteur comme combinaison linéaire finie des autres ?
Pourquoi ?

[barbu23]

Peut on écrire le vecteur comme combinaison linéaire finie des autres ?
Pourquoi ?

Non, parce que la famille est libre. :happy3:
Donc, n'est pas une base. :happy3:
Merci. :happy3:

[barbu23]

Donc en dimension infinie, comme on aime bien les complet, on "abandonne" la notion de base algébrique, au profit par exemple des bases de Hilbert (attention, ce ne sont pas des bases algébriques).
En revanche ce qu'on peut faire c'est chercher une suite croissante d'espace de dimension finie dont l'adhérence de l'union soit dense.

C'est très intéressant ce que tu dis @SLA :
Quelle est la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne ?
Je sais maintenant la différence entre une base topologique et une base algébrique, maintenant, j'essaye de saisir la différence entre la base algébrique et la base hilbertienne, surtout lorsque tu évoques la notion de complétude. :happy3:
Est ce que toute base algébrique est une base hilbertienne ? ( Attention, ne me répond en disant que c'est la base qui appartient à un espace de Hilbert, ça je le sais :lol3: )
Pourquoi plus précisément une base hilbertienne n'est pas une base algébrique ?

[SLA]

C'est très intéressant ce que tu dis @SLA :

Merci, merci :zen:

Quelle est la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne ?

Déjà, on travaille sur un Hilbert (donc complet et norme issue d'un produit scalaire). En plus d'être orthonormée (donc libre) la famille est totale (l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense), alors que dans une base l'espace vectoriel qu'elle engendre est l'espace ambiant (pas de densité).

Est ce que toute base algébrique est une base hilbertienne ? ( Attention, ne me répond en disant que c'est la base qui appartient à un espace de Hilbert, ça je le sais :lol3: )

Non une base algébrique te donne une décomposition en somme finie. Une base hilbertienne te donne une décomposition en série (dans la cas séparable) ou en famille sommable dans le cas général.

Pourquoi plus précisément une base hilbertienne n'est pas une base algébrique ?

Dès que l'espace est de dimension infinie et si e_i est une base hilbertienne (disons dénombrable) alors est un élement de l'hilbert mais ne peut s'écrire sous la forme justement parce la base hilbertienne est libre.

En revanche en dimension finie, les notions sont les mêmes.

[barbu23]

Non une base algébrique te donne une décomposition en somme finie. Une base hilbertienne te donne une décomposition en série (dans la cas séparable) ou en famille sommable dans le cas général.

Merci SLA. :happy3:
Et pourquoi la notion de complétion est importante dans ce cadre là de Hilbert et de base Hilbertienne ? Pour faire exactement quoi avec ?
Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Merci SLA. :happy3:
Et pourquoi la notion de complétion est importante dans ce cadre là de Hilbert et de base Hilbertienne ? Pour faire exactement quoi avec ?
Merci d'avance. :happy3:

La complétude en analyse, ça permet d'avoir des théorèmes de point fixe (notamment). Pour un Hilbert on s'en sert aussi dans le théorème de projection sur un convexe fermé.
Mais surtout la complétude donne un sens à une série (ou une famille sommable) de vecteurs, pourvu que la famille des normes de ces vecteurs soit sommable (En fait c'est une caractérisation des Banach).
Dans un cadre plus simple. Quand on dit qu'une série absolument convergente est convergente, on utilise la complétude de R. C'est faux si on travaille dans Q.

[barbu23]

Merci. :happy3:

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

Est ce qu'il y'a une grande différence entre le théorème du point fixe de Banach par exemple ( et les autres théorèmes du point fixe que je ne connais pas trop en détail ) dans un espace métrique complet et le théorème du point fixe dans un Hilbert ?

Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Bonjour, :happy3:

Est ce qu'il y'a une grande différence entre le théorème du point fixe de Banach par exemple ( et les autres théorèmes du point fixe que je ne connais pas trop en détail ) dans un espace métrique complet et le théorème du point fixe dans un Hilbert ?

Merci d'avance. :happy3:

Euh... tout dépend de ce que tu appelle théorème de point fixe dans un Hilbert... c'est quoi ton théorème, qu'on le compare à Banach-Picard?

[barbu23]

Par exemple, celui là qui est le plus basique en topologie : http://www.les-mathematiques.net/a/m/o/node5.php :happy3:
Les autres, je ne les connais pas. :happy3:

[SLA]

Par exemple, celui là qui est le plus basique en topologie : http://www.les-mathematiques.net/a/m/o/node5.php :happy3:
Les autres, je ne les connais pas. :happy3:

donc que veux-tu dire par théorème de point fixe dans un Hilbert? :mur:

[barbu23]

donc que veux-tu dire par théorème de point fixe dans un Hilbert? :mur:

Bah .. je cherche une version de ce théorème dans un Hilbert. C'est la même chose que dans un espace métrique complet ? rien ne change ?