Espace vectoriel

[Houda.9rayti]

Bonsoir

j'ai fait cette exercice mais je suis pas sure de ma réponse :

Soit E un C-espace vectoriel de dimension n et (e1,...,en) une base de E.
Determiner une R-base de E !
la question parait très simple, pourtant j'ai des doutes

Voilà ce que j'ai fait :

on a (e1,...,en)=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)
=a1(1,...,0)+a2(0,1,...,0)+....+an(0,...,1)+b1(i,...,0)+...+bn(0,...,i)

donc {(1,...,0)...(0,...,1),(i,...,0)...(0,...,i)} est générétrice et on montre qu'elle est libre facilement

est ce que c'est comme ça ?

La deuxieme question : Existe-il une structure de C-espace vectoriel sur R^3 prolongeant sa structure de R-espace vectoriel?
Je comprends meme pas cette question ... Si quelqu'un peut bien m'expliquer

Merci d'avance :lol3:

[arnaud32]

Bonsoir

j'ai fait cette exercice mais je suis pas sure de ma réponse :

Soit E un C-espace vectoriel de dimension n et (e1,...,en) une base de E.
Determiner une R-base de E !
la question parait très simple, pourtant j'ai des doutes

Voilà ce que j'ai fait :

on a (e1,...,en)=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)
=a1(1,...,0)+a2(0,1,...,0)+....+an(0,...,1)+b1(i,...,0)+...+bn(0,...,i)

donc {(1,...,0)...(0,...,1),(i,...,0)...(0,...,i)} est générétrice et on montre qu'elle est libre facilement

est ce que c'est comme ça ?

La deuxieme question : Existe-il une structure de C-espace vectoriel sur R^3 prolongeant sa structure de R-espace vectoriel?
Je comprends meme pas cette question ... Si quelqu'un peut bien m'expliquer

Merci d'avance :lol3:

en effet si tu regardes


est bien un isomorphimes d'espaces vectoriels

3 est impaire qui'en deduis tu?

[Ben314]

Salut,

on a (e1,...,en)=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)
=a1(1,...,0)+a2(0,1,...,0)+....+an(0,...,1)+b1(i,...,0)+...+bn(0,...,i)

ça, c'est assez franchement n'importe quoi...
- Lorsque tu écrit que e1=a1+b1i, il faudrait expliquer comment tu fabrique a1 et a2.
- Quelque soit la façon dont tu les "fabrique", ça sera des vecteurs de E vu que e1 est lui même un vecteur de E donc lorsque tu écrit à la ligne suivante a1(1,0,0,...,0) c'est sans queue ni tête : on ne multiplie pas un vecteur par des coordonnées !
- Enfin, lorsque tu écrit (1,0,...,0), je suppose que tu parle du vecteur dont les coordonnées sont (1,0,...,0).
Oui, mais les coordonnées dans quelle base ?
Si c'est dans la base (e_1,e_2,...e_n), alors le vecteur de coordonnées (1,0,...,0) dans cette base, c'est bêtement e1 et je vois pas trop l'intérêt d'écrire (1,0,...,0) à la place de e1.

Revenons à l'exercice.
L'hypothèse, c'est que B=(e1,e2,...,en) est une base de E vu comme C-espace vectoriel.
Par définition (d'une base), cela signifie que :
Tout vecteur V de E s'écrit de manière unique sous la forme V=a1.e1+a2.e2+...+an.en où a1,a2,...an sont des complexes (ce sont les coordonnées de V dans la base B)

On te demande de trouver une base B'=(f1,f2,...fm) de E vu comme R-espace vectoriel.
Il faut donc trouver des vecteurs de E f1,f2,...,fm tels que :
Tout vecteur V de E s'écrive de manière unique sous la forme V=b1.f1+b2.f2+...+bm.fm où b1,b2,...bn sont des réels.

[Houda.9rayti]

Salut,ça, c'est assez franchement n'importe quoi...
- Lorsque tu écrit que e1=a1+b1i, il faudrait expliquer comment tu fabrique a1 et a2.
- Quelque soit la façon dont tu les "fabrique", ça sera des vecteurs de E vu que e1 est lui même un vecteur de E donc lorsque tu écrit à la ligne suivante a1(1,0,0,...,0) c'est sans queue ni tête : on ne multiplie pas un vecteur par des coordonnées !
- Enfin, lorsque tu écrit (1,0,...,0), je suppose que tu parle du vecteur dont les coordonnées sont (1,0,...,0).
Oui, mais les coordonnées dans quelle base ?
Si c'est dans la base (e_1,e_2,...e_n), alors le vecteur de coordonnées (1,0,...,0) dans cette base, c'est bêtement e1 et je vois pas trop l'intérêt d'écrire (1,0,...,0) à la place de e1.

Revenons à l'exercice.
L'hypothèse, c'est que B=(e1,e2,...,en) est une base de E vu comme C-espace vectoriel.
Par définition (d'une base), cela signifie que :
Tout vecteur V de E s'écrit de manière unique sous la forme V=a1.e1+a2.e2+...+an.en où a1,a2,...an sont des complexes (ce sont les coordonnées de V dans la base B)

On te demande de trouver une base B'=(f1,f2,...fm) de E vu comme R-espace vectoriel.
Il faut donc trouver des vecteurs de E f1,f2,...,fm tels que :
Tout vecteur V de E s'écrive de manière unique sous la forme V=b1.f1+b2.f2+...+bm.fm où b1,b2,...bn sont des réels.

Salut, merci beaucoup de prendre le temps de rédiger tout ça
Je me rends compte que ce que j'ai écrit est vraiment du n'importe quoi...
Bon je retente

Soit V de E
donc V=a1.e1+a2.e2+...+an.en où a1,a2,...an sont des complexes
donc ils existent 1, 2,... n, 1, 2..., n de R tels que : a1= 1+(;)1)i ... an= n+(;)n)i
donc V=(;)1+(;)1)i)e1+...+(;)n+(;)n)i)en
donc V=(;)1)e1+...+(;)n)en +(;)1)ie1+...+(;)n)ien
donc (e1,...,en,e1i,...,eni) est génératrice et on montre qu'elle est libre

[Ben314]

Salut, merci beaucoup de prendre le temps de rédiger tout ça
Je me rends compte que ce que j'ai écrit est vraiment du n'importe quoi...
Bon je retente

Soit V de E
donc V=a1.e1+a2.e2+...+an.en où a1,a2,...an sont des complexes
donc ils existent 1, 2,... n, 1, 2..., n de R tels que : a1= 1+(;)1)i ... an= n+(;)n)i
donc V=(;)1+(;)1)i)e1+...+(;)n+(;)n)i)en
donc V=(;)1)e1+...+(;)n)en +(;)1)ie1+...+(;)n)ien
donc (e1,...,en,e1i,...,eni) est génératrice et on montre qu'elle est libre

C'est bien ça

[Houda.9rayti]

est ce que quelqu'un peut bien me donner une indication pour cette deuxième question de ce même exercice :
Existe-il une structure de C-espace vectoriel sur R^3 prolongeant sa structure de R-espace vectoriel?

[Ben314]

Tu déduit de la question précédente qu'un C-espace vectoriel de dimension n est un R-espace vectoriel de dimension 2n donc de dimension paire.
Or 3 est impair...

[barbu23]

Tu déduit de la question précédente qu'un C-espace vectoriel de dimension n est un R-espace vectoriel de dimension 2n donc de dimension paire.
Or 3 est impair...

La question de Houda.9rayti est très importante.
Moi, j'aimerai savoir s'il existe une structure de - linéarité sur prolongeant sa structure de - linéarité ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

L'espace vectoriel des application C-linéaires de C²->C² est de dimension 4 sur C (ensemble des matrices 2x2 à coeff complexe) donc de dimension 8 sur R.
L'espace vectoriel des application R-linéaires de R^4->R^4 est de dimension 16 sur R (ensemble des matrices 4x4 à coeff. réel)
Donc...

[mathelot]

La question de Houda.9rayti est très importante.
Moi, j'aimerai savoir s'il existe une structure de - linéarité sur prolongeant sa structure de - linéarité ?
Merci d'avance. :happy3:

soit
avec la structure hermitienne classique,

soit a la structure kälhérienne,

sauf erreur.

[barbu23]

@Ben : Je ne sais pas encore la réponse. :happy3:
@mathelot : Peux tu détailler un peu plus ton idée @mathelot, car moi aussi, je me pose cette question, car j'ai vu un truc qui ressemble à cela en théorie de Hodge, notamment lorsqu'on cherche à munir un fibré vectoriel réel d'une structure pseudo complexe qu'on trouve qu'elle vérifie par hasard à , j'espère que tu es familier avec cela, car, je n'ai pas encore saisi bien ce procédé. :happy3:

[mathelot]

je regarderai quand j'aurai le temps.

[barbu23]

je regarderai quant j'aurai le temps

Voiçi ce que je veux savoir :
On a : peut se mettre sous la forme : dans une base comme il peut se me mettre sous la forme : dans une autre base, telle que : . En terme matricielle, on doit avoir un truc du genre : .
Quelle est ?
Merci d'avance.

[barbu23]

@mathelot : Peux tu m'expliquer comment on obtient une structure de fibré holomorphe ou complexe sur un fibré réel qui permet d'exhiber ce qui vérifie ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Bonjour à tous,
Quelqu'un peut - il m'expliquer comment on obtient les deux endomorphismes et qui figurent à la page du pdf suivant : http://www.latp.univ-mrs.fr/~dloussky/documents/Varriem-Varherm.pdf
Ce n'est pas assez bien expliqué dans ce pdf malheureusement.
Merci d'avance. :happy3:

[Houda.9rayti]

Merci beaucoup Ben314 pour ton aide.