Espace Vectoriel

[Clairou]

Bonsoir,

Je suis en train de m'entraîner à faire un exercice sur lequel je bloque complètement...

E : espace vectoriel Rn et Id : application identité de E.
Il s'agit d'étudier les endomorphismes f de E qui vérifient fof = 4Id.

On a f(x,y) = (racine carrée(2) * (x+y), 2 * (x-y)).
Et u = (racine carrée(2) - 2, racine carrée (2)).

1) Montrer que f vérifie fof = 4Id, puis préciser son image et son noyau.
2) F=Ker(f-2Id) et G=Im(f-2Id)
a) Montrer que G=Vect-(u). Montrer qu'il existe un vecteur v tel que F=Vect(v) et le préciser.
b) Montrer que G= Ker(f+2Id)
c) Montrer que E = FG

J'ai fait la première question mais à partir de la deuxième ça se gâte..
Merci d'avance pour votre aide.

[Sourire_banane]

Bonsoir,

Je suis en train de m'entraîner à faire un exercice sur lequel je bloque complètement...

E : espace vectoriel Rn et Id : application identité de E.
Il s'agit d'étudier les endomorphismes f de E qui vérifient fof = 4Id.

On a f(x,y) = (racine carrée(2) * (x+y), 2 * (x-y)).
Et u = (racine carrée(2) - 2, racine carrée (2)).

1) Montrer que f vérifie fof = 4Id, puis préciser son image et son noyau.
2) F=Ker(f-2Id) et G=Im(f-2Id)
a) Montrer que G=Vect-(u). Montrer qu'il existe un vecteur v tel que F=Vect(v) et le préciser.
b) Montrer que G= Ker(f+2Id)
c) Montrer que E = FG

J'ai fait la première question mais à partir de la deuxième ça se gâte..
Merci d'avance pour votre aide.

Salut,

Montre que tout vecteur x tel qu'il existe z tel que x=f(z)-2z s'écrit sous la forme k*u, k scalaire.

[Clairou]

Salut,

Montre que tout vecteur x tel qu'il existe z tel que x=f(z)-2z s'écrit sous la forme k*u, k scalaire.

Merci pour ta réponse! Mais j'ai un peu de mal avec cette leçon du coup je ne vois pas trop comment faire ça.. En plus f est une fonction à deux variables, alors comment parler de f(z)?

[Sourire_banane]

Soit z=(x,y) vecteur de E, alors f(z)=f((x,y))=(...,...) car f est à valeurs dans E. Si tu additionnes f(z)-2z, qu'est-ce que ça donne ?