Espace vectoriel

[TAY]

Bonjour,

Pouvez vous m'expliquer de manière claire et simple les notions de dépendance et indépendance linéaire
(Cours Espace vectoriel). Comment démontre t-on qu'un ensemble de vecteurs est lié?
Exple : On considère dans R^3 les vecteurs :

u1 = (3,1,-1), u2 = (-1,1,2), u3 = (1,-1,1), u4 = (5,-2,3)

Montrer que F = {u1,u2,u3,u4} est lié
Extraire de F une base dans R^3.


:help:

[arnaud32]

un ensemble de vecteurs est lie si tu peux trouver une combinaison lineaire a coefficients non tous nuls qui vaut zero
en clair au moins un des vecteurs est une combinaison lineaire des autres

tu ecris donc tes vecterus comme une matrice et tu vas en chercher le rang pour connaitre la dim de l'espace engendre

[Doraki]

(u1,u2,u3,u4) est liée parceque 9*u1 + 4*u2 + 37*u3 - 12*u4 = 0

[TAY]

Merci à tous.
Doraki le résultat est bien beau! Mais apprend moi à pêcher s'il te plait lol. Comment on procède pour trouver une combinaison lineaire a coefficients non tous nuls qui vaut zero. Pour n'importe kel ensemble.

[Doraki]

On prend 4 inconnues x y z t, on écrit x*u1 + y*u2 + z*u3 + t*u4 = 0 et on regarde si on arrive à trouver une solution non nulle au système obtenu.

[bentaarito]

tu peux voir ça avec la methode des pivots de Gauss
Mais la meilleur manière à mon avis est de voir comme un système d'équations:
Par exemple, pour ton systeme u1 = (3,1,-1), u2 = (-1,1,2), u3 = (1,-1,1), u4 = (5,-2,3) on a:
3a-b+c+5d=0 et a+b-c-2d=0 et -a+2b+c+3d =0
il est clair dans ton cas qu'il y a un non nul vecteur solution de cette équation , car on est en dimension 3
et ton système est de cardinal 4. :zen:
NB.B: tout systeme dans E de cardinal supérieur à dim(E) est lié :id:

[lhoussine]

une remarque très important, les vecteurs U1,U2,U3,U4 sont dans R^3 qui est de dimension 3, donc toute famille constituée de plus de trois vecteurs est liée............. :lol3:
pour extraire une base de F tu dois chercher trois vecteurs libre de F:
tu peut se servir de la propriété suivante : ( au lieu de résoudre des systèmes d'équas qui gène :zen:
si det(U1,U2,U3)=0 alors U1,U2,U3 sont liés.........
de cette façon le calcule devient facile.............

[bentaarito]

une remarque très important, les vecteurs U1,U2,U3,U4 sont dans R^3 qui est de dimension 3, donc toute famille constituée de plus de trois vecteurs est liée............. :lol3:
pour extraire une base de F tu dois chercher trois vecteurs libre de F:
tu peut se servir de la propriété suivante : ( au lieu de résoudre des systèmes d'équas qui gène :zen:
si det(U1,U2,U3)=0 alors U1,U2,U3 sont liés.........
de cette façon le calcule devient facile.............

c'est pratiquement ce que j ai dit frère houssine :ptdr: :ptdr:

[TAY]

En tt k merci à tous! Vs m'avez bocou aidé