Espace vectoriel

[jeje56]

Bonjour,

Je me pose une question : l'ensemble des fonctions dérivables sur R est un espace vectoriel, mais pour quelle loi ?

Car, f+g est dérivable, fog et f*g aussi...

En fait, mon interrogation est venue pour démontrer par récurrence la formule de Leibniz :
Si f et g sont n fois dérivables et si je suppose la formule vraie au rang n-1, il faut préalablement que je vérifie que (fg)^(n) existe... Qu'en pensez-vous ? Je dis : si f et g sont n fois dérivables, f'g+fg' est n-1 fois dérivables puis je poursuis... Mais pour cette dernière affirmation, qu'utilise t'on ?

Merci !

[Ben314]

Un petit "rappel" : pour avoir un espace vectoriel sur un corp K (à ton avis, K ça va être qui ici ?) il faut deux "loi" :

1) Une loi externe permettant de "multiplier" un élément de K avec un élément de l'espace, c'est à dire ici avec une fonction (et on doit avoir (ab).f=a.(b.f) pour toute fonction f et tout a,b dans K)
Y a-t'il beaucoup de possibilitées "naturelles" pour cette loi ?

2) Une loi interne permettant "d'ajouter" les éléments de l'espace qui soit :
a) Associative, Commutative, avec élément neutre, avec un inverse pour tout élément.
b) qui vérifie a.(f+g)=(a.f)+(a.g) et (a+b).f=(a.f)+(b.f) pour a,b dans K et f,g fonctions.
Y a-t'il beaucoup de possibilités "naturelles" pour cette loi ?

En particulier, les loi '*' et 'o' vérifient-t'elles le 2)a) ?

[Ben314]

Si tu veut utiliser des "termes mathématiques" pour dire que, sur l'ensemble des fonctions dérivables de R->R on peut :
a) les multiplier par un réel : loi externe "."
b) les ajouter entre elles : loi interne "+"
c) les multiplier entre elles : loi interne '*'
d) les composer entre elles : loi interne "o"

Alors :
Le a) et le b) [+ les propriétés qui vont avec] correspond effectivement à la structure appelée "espace vectoriel sur R"

Le b) et le c) [+ les propriétés qui vont avec] correspond à la structure appelée "Anneau" (ici commutatif, unitaire mais non intègre)

Le a), le b) et le c) [+ les propriétés qui vont avec] correspond à la structure appelée "Algèbre"

Par contre, la loi "o" n'ayant quasi aucune propriété algébrique commune avec ".", "+" et "*" (par exemple, on n'a pas fo(g+h)=(fog)+(foh) sauf si f est linéaire) je ne pense pas qu'il y ait de nom regroupant la loi "o" et une des 3 autres.

Muni de la loi "o" (toute seule) l'ensemble des fonctions dérivables est un "monoïde" (i.e. associatif + élément neutre mais pas commutatif et certain élément n'ont pas de symétrique)

Résumé : Pour ta formule, tu utilise la structure "d'algèbre" : addition, multiplication interne et multiplication externe PLUS la "fonction" dérivation qui va de l'algèbre des fonctions dérivables dans l'algébre des fonctions...

[jeje56]

D'accord, alors mon interrogation : pourquoi parler d'espace vectoriel si on peut parler d'algèbre des fonctions dérivables, qui est "plus fort" ?

[Ben314]

D'accord, alors mon interrogation : pourquoi parler d'espace vectoriel si on peut parler d'algèbre des fonctions dérivables, qui est "plus fort" ?

A mon avis, tout simplement parceque "Scolairement parlant", on commence à utiliser des espaces vectoriels dés le colège (vecteur du plan) mais le mot "espace vectoriel" n'est vu il me semble qu'en Bac+1.
De même, on manipule l'algèbre des fonctions dérivables dés la seconde (ou première ?) mais le mot "algèbre" n'est souvent vu qu'en bac +2.

Trés souvent, parler de "structures" théorique, ça effrait pas mal d'étudiants (à mon époque, on en parlait dés le collège et le résultat... était pas terrible...) donc on préfère au début manipuler des cas particulier de ces structures pour, ensuite, leur donner un nom et les étudier dans le cas général (à mon avis, c'est pas plus con)

Dans ton exo, par exemple, d'utiliser la phrase :
"on sait que l'ensemble des fonctions dérivable est une algèbre"
à la place de
"on sait que la somme, le produit, la différence de fonctions dérivables et dérivable"
on peut pas dire que tu y gagne énormément dans la rédaction...

[jeje56]

Oui, c'est sûr... Mais je préfère ne pas dire alors que c'est un espace vectoriel... Ca me parait trop "réducteur"... Lol.

[Ben314]

Ca, c'est toi qui voit...
A mon avis, effectivement, dés qu'on a vu le mot "algèbre", ben tant qu'à faire... y'a qu'a l'utiliser...

Sinon, concernant la formule de Leibnitz, su tu veut le faire "à la plus théorique possible", y'a un truc un peu chiant, c'est que :

1) Soit au départ tu prend l'algèbre A des fonction indéfiniement dérivable pour que la dérivation aille de A dans A, mais c'est un peu con du fait que la formule (à l'ordre 5) marche aussi pour les fonction qui ne sont "que" 5 fois dérivable.

2) Soit tu prend les algèbres An des fonctions n fois dérivables (qui sont contenues les unes dans les autres) et la dérivation va de An dans A(n-1), la "double dérivation" va de An dans A(n-2) etc... et je pense qu'au niveau de la rédaction, d'avoir introduit les notations An, tu y perd (au niveau compréhention de ce que tu écrit) plus que ce que tu y gagne (d'ailleurs, je vois pas trop ce que tu gagne ici, à par qu'à la lecture, ça parrait tout de suite plus "balèse" comme rédaction...)

[Ben314]

Tient, une dernière remarque :
J'ai 45 balais et je suis prof. Ca explique que, assez naturellement, si j'ai plusieurs façon de rédiger une preuve, en général, je choisi celle qui fait le moins "balèse" possible (même si ça rallonge un peu) en me disant que, comme ça, j'aurait sans doute moins d'étudiants qui "décrochent".
A la limite, une fois la preuve terminée, je signale rapidement que l'on pouvait "court-circuiter" certain passages en utilisant des outils un peu plus puissant.

Par contre, je me rapelle trés bien que, quand j'était étudiant, je raisonnait de façon trés différente en me disant :
"Pourquoi ne pas démontrer "plus" en moins de temps en utilisant précisément les outils les mieux adaptés à la preuve ?"
Et aussi :
"Là je vais utiliser les 'gros trucs théoriques', c'est pas indispensable ici, mais ça en 'jette' et ça montre que je sais les utiliser."
Qui, à mon avis sont des raisonnements parfaitement valables.

[jeje56]

Dac...

Pour Leibniz, je suppose f et g n fois dérivable et je suppose la formule vraie au rang n-1... Et je dis : f'g+fg'=(fg)' est n-1 fois dérivable, donc fg est n fois dérivable... et donc je peux partir de (fg)^(n)... Est-ce suffisant ?

[Ben314]

Ben... oui...

Aprés, sur la rédaction de la preuve, ça dépend un peu de savoir si tu suppose déjà connu le fait que "le produit de deux fonctions n fois dérivable est n fois dérivable" ou non.

Tu as l'air de partir sur le "non" donc effectivement, tu fait la preuve par récurrence et, pour montrer que fg est n fois dérivable, tu écrit que
(fg)'=f'g+fg'
puis, comme f' et g sont n-1 fois dérivables, par H.R. f'g est n-1 fois dérivable.
Idem pour fg' et tu conclue que (fg)' est n-1 fois dérivable ce qui signifie bien que fg est n fois dérivable.

[jeje56]

Oui, en fait, en procédant comme ça, on suppose quand même que la somme est n-1 fois dérivable par structure d'espace vectoriel... Lol.

A mon avis, en fait, ne pas supposer avant la démo que le produit de deux fonctions n fois dérivables est n fois dérivalbe est plus judicieux, car comment le montrer sans la formule justement ?

Pour n=1, la formule du produit permet de prouver "en même temps" sa dérivabilité... Tu me suis Ben ?

[Ben314]

Effectivement, ça parait plus normal, vu qu'au fond, c'est la même récurrence qui permet de montrer la n-dérivabilité et la formule.

[jeje56]

C'est ça !

Merci Ben !