Espace Vectoriel

[Anonyme]

Bonjour,
Voilà, est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la technique pour trouver la dimension d'une famille liée ? (Un exemple dans R3 et R4 serait le bien venu !)
Merci.

[Nightmare]

Bonsoir

La dimension d'une famille ? je ne comprends pas ... On parle de la dimension d'un espace vectoriel mais pas d'une famille. Veux-tu parler de la dimension du sev engendré par cette famille ?

[Anonyme]

oui... je suis pas sur mais si c'est pas la dimension le bon nom je crois que c'est le rang de cette famille de vecteur.

[Nightmare]

Ah oui, en fait c'est bien ce que je disais

Le rang d'une famille d'un ev E est la dimension du sev engendré par cette famille.

En fait la technique est simple, il suffit de trouver une base B de ce sev et d'utiliser le fait que dim(F)=card(B)

Sais-tu comment trouver une base d'un sev engendré par une famille donnée ?

[Anonyme]

Ta technique ne marche pas si je te donne comme exo :

F = { (1,1,3) (1,2,2) (1,-1,5) }
G = Vect(F)

-> détermine la dimension de G et donne une base B de G.

[Nightmare]

Ici F est liée, tu peux donc trouver une sous-famille libre de F et conclure avec ma technique

En l'occurence ici par exemple ((1,1,3);(1,-1,5)) est la sous famille maximale de F. Ainsi dim(F)=2

:happy3:

[Anonyme]

En fait ce que je pige pas c'est l'histoire d'indépendance des vecteurs ? Pour moi il tous indépendants donc comment choisir celui que l'on va virer ?

[Nightmare]

"Dépendants" tu as voulu dire

Tu ne vires pas les vecteurs comme tu dis, tu effectues des combinaisons linéaires sur un vecteur de sorte à réduire la famille liée en une famille libre car on sait que le rang d'une famille est le cardinal maximal d'une sous-famille libre.

:happy3:

[Anonyme]

Je suis toujours d'accord avec toi alors mon problème vient que je ne sais pas comment "effectuer des combinaisons linéaires sur un vecteur de sorte à réduire la famille liée en une famille libre ".

Tu peux m'expliquer stp ?

[Nightmare]

eh bien, il faut savoir que rg((a,b,c))=rg((a,b,comb(a,b,c))) où comb(a,b,c) est une combinaison linéaire des vecteurs a,b et c (le coefficient devant c étant non nul)
Il faut donc s'arranger de telle sorte à "éliminer" le vecter, dans le cas d'une famille liée c'est assez simple
En effet, supposons par exemple que l'on ait a+2b+c=0, il suffit d'écrire que rg((a,b,c))=rg((a,b,c+a+2b))=rg((a,b))

Si (a,b) est libre, alors rg((a,b))=card(a,b)=2
si (a,b) est liée alors rg(a,b)=1 (logique)

Exemple concret :
On prend F=((1,2);(-1,3);(0,-5)) une famille d'éléments de R²
On veut calculer rg(F)
Il est clair que F est liée, puisque l'on a (1,2)+(-1,3)+(0,-5)=0
Ainsi on peut écrire :
rg(F)=rg((1,2);(-1,3);(0,-5)+(1,2)+(-1,3))=rg((1,2);(-1,3))
F'=((1,2);(-1;3)) est libre donc rg((1,2);(-1,3))=card((1,2);(-1,3))=2
ie rg(F)=2

Compris ?

[Anonyme]

Pourquoi tu as choisi de supprimer (0,5) et pas (1,2) ?

[Nightmare]

Cela revient au même

[Anonyme]

Bah tu peux pas supprimé n'importe lequel : je serais pas très bien l'expliquer mais si deux vecteurs sont colinéaires c'est sûr que l'on peut supprimer un des deux mais si jamais on supprime un 3ème vecteur qui n'est pas colinéaire avec les autres ? On perd une dimension !

[Nightmare]

Oui non autant pour moi, ici cela revient au même, mais ce n'est pas dans tout les cas vrais. Effectivement il y a des cas où la dimension est 2 alors que tu auras réduis en une famille d'un élément, sauf que je te rappelle que le rang d'une famille est égal au cardinal maximal des sous-familles.

[Nightmare]

En fait voilà comment procéder

Lorsqu'on t'expose une famille de vecteurs liée, tu cherches la famille linéairement indépendante maximale, ensuite tu t'arranges pour arriver à celle-ci par combinaison linéaire et conclure le probléme

:happy3:

[Anonyme]

Je pige plus rien ! Snif ! Un exemple simple ou une corde (pour me pendre !) ???

[Nightmare]

Bon c'est un peu brouillons je le conçois alors je vais faire un résumé.

Le rang d'une famille F liée est égal au cardinal maximal d'une sous-famille libre de F (c'est à dire au cardinal de la plus grande sous-famille libre de F)

Ainsi lorsqu'on demande de déterminer rg(F) avec F liée (si F est libre rg(F)=card(F)) , il faut tout dabord trouver la plus grande sous famille libre de F
Pour ce faire, on essaye dabord toutes les combinaisons possibles de sous-familles de n-1 vecteurs (n=card(F)). Si on en trouve une qui est libre alors le tour est joué. Si il n'y en a pas de libre, on regarde la dépendance linéaire des sous-familles de n-2 vecteurs ect ...

Par exemple, on considère une famille F=(a,b,c,d,e) liée de cardinal 5
On regarde la dépendance de toutes les sous-familles de cardinal 5-1=4 (c'est à dire ici (a,b,c,d) et (b,c,d,e))
Si l'une est libre alors rg(F)=card(famille libre)=4, sinon on passe au cardinal inférieur qui est 3.
On regarde toutes les sous-familles de F de cardinal 3 (ici : (a,b,c) ; (b,c,d) ; (c,d,e) ; etc...)
Si une est libre, rg(F)=card(famille libre)=3
sinon on passe au cardinal inférieur qui est 2 etc....

Compris ?

[Anonyme]

Oui c'est déjà plus clair. Il me reste une question un peu conne : pour vérifier que deux vecteurs sont indépendants (ou libre). Il suffit de regarder si ses deux vecteurs sont colinéaires ou non, pour 3 vecteurs il suffit de voir si ils sont co planaire ? Mais si il y en a 4 ?

[Nightmare]

Il faut revenir à la définition :

une famille est liée si chaque vecteur de la famille peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres, ou bien encore s'il existe une combinaison linéaire de tout ces vecteurs qui est nulle (les coefficients étant non nuls)

Formellement :

:happy3:

[Anonyme]

Ok... Bon je vais essayé de mettre en application tout ca. Tu connais pas un site avec des exo par hasard ?
thx