Espace vectoriel

[LaBoule13]

Bonsoir, j'aurais besoin de quelques petits conseils sur cet exercice sur les espaces vectoriels.

Soit E l'ensemble des suites réelles (Un) telles que pour tout n de N :
Un+2 = a*Un+1 + bUn

Justifier que l'application f : R², définie par f((Un)) = (U0,U1) est un isomorphisme.

J'ai dèjà prouver à la question d'avant que E était un sous espace vectoriel réel des suites réelles.

Je cherche à montrer que f est bijectif mais je ne vois pas comment faire. Merci

[girdav]

Si tu as deux suites et de telles que les deux premiers termes sont égaux il suffit de montrer que pour tout entier pour avoir l'injectivité.
La surjectivité ne pose pas de problème.

[barbu23]

Bonsoir,
Pour la surjectivité de :
: solution de la suite recurrente avec conditions initiales :



Je suppose que tu connais la methode qui permet de trouver les solutions des suites recurrentes avec conditions initiales ( c'est à peu près la même chose que les equations differentielles linéaires ) :happy3:

[barbu23]

Oui, girdav, pour l'injectivité, celà veut dire, qu'il existe une solution unique pour la relation de recurrence avec conditions initiales. :happy3:

[LaBoule13]

J'ai pensé à cette idée de montrer que f était injective et surjective mais on ne sait pas si E a la meme dimension que R² donc cela ne pose t'il pas un probleme ? Et si non si on montre que Kerf = 0 et Imf = R², cela répond il à la question ?

[girdav]

Ça marche aussi puisque se sont respectivement des conditions qui équivalent à l'injectivité et à la surjectivité.
Mais en fait ce que je proposais revient exactement au même.

[barbu23]

Oui, mais ta methode est applicable quant est linéaire ! Est ce que est lineaire ? :happy3:

[Ben314]

J'ai pensé à cette idée de montrer que f était injective et surjective mais on ne sait pas si E a la meme dimension que R² donc cela ne pose t'il pas un probleme ? Et si non si on montre que Kerf = 0 et Imf = R², cela répond il à la question ?

Justement, c'est bien parce que tu ne sait pas quelle est la dimension de E que tu doit montrer l'injectivité ET la surjectivité.

Si tu savait que E est de dimension 2, il suffirait de montrer l'une des deux propriétée et cela impliquerais l'autre. Sauf que tu ne sais pas que E est de dim 2 !!!

[barbu23]

Le fait que soit bijective, sert à montrer l'existence ( surjectivité ) et l'unicité ( injectivité ) des solutions de la suite recurrente avec conditions initiales de la Boule ! C'est une autre façon de voir les choses quoi ! :happy3:

[LaBoule13]

Je vois, je viens de comprendre :happy2: J'ai réussi à prouver que le noyau valait 0 mais pour l'image je bloque complètement, comment puis je faire ? Merci pour l'aide déjà apporté =p

[girdav]

Si tu prends une suite dont les deux premiers termes sont et tu peux atteindre le couple par .

[LaBoule13]

J'ai pas compris.. :mur:

[girdav]

Si je te donne la suite définie par , que peux-tu dire de ?

[LaBoule13]

f((u1,u0))= (u0,u1) mais pourquoi cela prouve t-il que Imf = R² ? ( Désolé les espaces vectoriels m'échappent un peu pour l'instant )

[girdav]

L'égalité que tu viens d'écrire ne permet pas de le prouver. est une application qui reçoit une suite et non un couple.

[LaBoule13]

f((Un))=(x,y) ?

[barbu23]

relis bien ce que j't'ai ecrit avec tout mon respect envers girdav ! :happy3:

[LaBoule13]

Je veux bien y réfléchir mais je ne connais pas la méthode que tu proposes barbu23..

[barbu23]

Non, mais c'est pas ma methode, mais c'est la piste qu'il faut suivre !
ça veut dire quoi en general, est surjective ?
ça veut dire que pour tout : , il existe ... etc ! n'est ce pas ? :happy3:
ça veut dire quoi ? ça veut dire que verifie la suite recurrente que tu as definie au debut de ce fil ! ce qui est effectivement le cas , est donc surjective ! :happy3:

[girdav]

f((Un))=(x,y) ?

Oui, donc tu as réussi à atteindre le couple par une suite de .
Tu peux donc conclure.