Espace vectoriel de suites réelles

[Trident]

Bonjour, j'ai quelques petits soucis de compréhension sur un problème concernant les sous espaces vectoriels.

Pour un entier naturel p, on désigne :
I_p = {ensemble des suites réelles (a_n) telles que a_{n+p} = a_n }

Il faut montrer que I_p est un sous espace vectoriel de dimension p. Pas de problème pour montrer que c'est un sous espace vectoriel mais j'ai des doutes sur sa dimension. Je n'arrive pas bien à visualiser tout ça.

[lionel52]

en fait il suffit de fixer a0,a1,....ap-1 pour avoir toute la suite. Du coup Ip est un ev de dimension p.

Plus précisément les suites (1,0,0,....), (0,1,0....) (0,0,1,0,....) ... (0,0,0,...,0,1,0,0,...) (avec un 1 en position p-1) forment une base de Ip

[Trident]

en fait il suffit de fixer a0,a1,....ap-1 pour avoir toute la suite. Du coup Ip est un ev de dimension p.

Plus précisément les suites (1,0,0,....), (0,1,0....) (0,0,1,0,....) ... (0,0,0,...,0,1,0,0,...) (avec un 1 en position p-1) forment une base de Ip

Ok mais tu veux plutôt dire que les suites (1,0,0, 1,0,0, .... 1,0,1) , (0,1,0, 0,1,0, ... , 0,1,0) ... (0,0,0, ...,0,1,0,0,... , 0,0,0, ..., 0,1,0,0 .....) forment une base de I_p.

Mais comment le montrer rigoureusement ?

[raph107]

Ok mais tu veux plutôt dire que les suites (1,0,0, 1,0,0, .... 1,0,1) , (0,1,0, 0,1,0, ... , 0,1,0) ... (0,0,0, ...,0,1,0,0,... , 0,0,0, ..., 0,1,0,0 .....) forment une base de I_p.

Mais comment le montrer rigoureusement ?

Si tu appelles b_1, ..., b_p les suites (1,0,0,..,1,0,0,...), ... (0,0,...,0,1,0,0,....),
Un élément de I_p est de la forme:
(x_1,..., x_p,x_1,x_2,...,x_p,x_1,....,x_p,........,x_1,x_2,...) = x_1*b_1+x_2*b_2 + ... +x_p*b_p ce qui montre que la familles des b_i est génératrice et il est clair que cette famille est libre

[Nightmare]

Hello,

classiquement, on peut montrer que Ip est isomorphe à R^p par l'isomorphisme (un)->(u0,u1,...,up)

(ce qui revient strictement au même que les réponses données précédemment, qui fournissent une base de Ip par l'image inverse d'une base de R^p).