Espace vectoriel et projecteurs

[LaBoule13]

Bonsoir,

Je bloque complètement sur la deuxième question d'un exercice d'algèbre portant sur les projecteurs, merci de m'éclairer un peu sur la question =)

On a E un K-espace vectoriel de dimension finie n, (p1,...,pn) des projecteurs non nuls de E tels que pi(rond)pj = 0 dès que pi différent de pj.
J'ai démontré à la question 1 que la famille (xi) telle que xi appartient à Im(pi) pour tout i de 1 à n est une base de E.

On me demande ensuite de montrer que s'il existe i appartenant à {1,...,n} tel que rg(pi) supérieur ou égal à 2, alors on peut construire une famille libre de vecteurs de E de cardinal n+1.
Comment une famille peut elle être libre dans un espace de dimension n alors qu'elle est de cardinal n+1 ? Merci de m'aider à commencer cette question.

[Ben314]

Salut,
Commencons par la fin :

Comment une famille peut elle être libre dans un espace de dimension n alors qu'elle est de cardinal n+1 ?

Ben justement, vu que le résultat que l'on obtient est absurde, cela signifie que l'hypothèse faite dans cette question ( "s'il existe i appartenant à {1,...,n} tel que rg(pi) supérieur ou égal à 2..." ) est absurde. (cela s'appelle un raisonnement par :hein: )

Sinon, pour montrer ce résultat (absurde), il suffit d'appliquer deux fois le résultat précédent ( "...la famille (xi) telle que xi appartient à Im(pi) pour tout i de 1 à n est une base de E....") en prenant la première fois un xk dans le fameux Im(pk) pour lequel on a supposé que rg(pk)>=2 puis la deuxième fois un x'k toujours dans Im(pk) mais en le prenant non colinéaire à xk (possible vu que rg(pk)>=2).
Tu montre alors que la famille formée de tout ces vecteurs (donc n+1 vecteurs) est libre.