Espace vectoriel des polynômes

[PhilT]

Bonjour

j'ai besoin d'aide pour terminer ce problème svp

Soit Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus égal à n et du polynôme nul. On suppose .
Soient et deux réels distincts.

1/ Montrer que les 3 sous-ensembles suivants sont des sev de Rn[X] :
- , ensemble des polynômes de Rn[X] possédant la racine
- , ensemble des polynômes de Rn[X] possédant la racine
- , ensemble des polynômes de Rn[X] possédant les racines et .

2/ Montrer que les familles




sont des bases resp. de

3/ Soit f l'application de Rn[X] dans lui-même qui, à tout polynôme P de Rn[X], associe le polynôme , X étant le polynôme qui à x associe x.
a/ montrer que f est linéaire
b/ déterminer le noyau et l'image de f

4/ a/Démontrer qu'il existe des réels et tels que ; en déduire que tout polynôme constant appartient à +

b/ Démontrer que tout polynôme appartient à +

c/ en déduire que Rn[X] = + ; et peuvent-ils être supplémentaires ?

J'ai traité jusqu'à la question 3a

J'en suis à la 3b. pour Imf je trouve que c'est l'ensemble des polynômes qui vérifient donc ce serait la droite vectorielle engendrée par , donc un sev de dim 1 ; si c'est cela, Kerf devrait être un hyperplan de Dim n (Dim Rn[X] = n+1), mais je n'arrive pas à le déterminer ; = 0 me donne ; si c'est ça, comment caractériser cet espace ?

Merci de m'aider sur cette question avant que j'aborde la fin.

Bien cordialement

[alphamethyste]

bjr

la question 1)

l'ensemble des poly munis de l'addition et du produit externe c'est quoi ?

alors si un ensemble de poly ont une racine commune / ce poly avec cette racine c'est quoi ?

ceci dit tu peux toujours aller te brosser ailleurs... vu comment tu traite les gens qui t'aident

[Robot]

J'en suis à la 3b. pour Imf je trouve que c'est l'ensemble des polynômes qui vérifient donc ce serait la droite vectorielle engendrée par , donc un sev de dim 1 ; si c'est cela, Kerf devrait être un hyperplan de Dim n (Dim Rn[X] = n+1), mais je n'arrive pas à le déterminer ; = 0 me donne ; si c'est ça, comment caractériser cet espace ?

Confusion ! L'image de est l'ensemble des polynômes tels qu'il existe un polynôme de degré tel que (définition de l'image). L'image de est donc contenue dans l'espace des polynômes de degré .
Peux-tu montrer que le polynôme est dans l'image de (ce qui revient à trouver tel que et ) ? Peux-tu montrer que la constante est dans l'image de ? Conclusion sur l'image de ?
Pour le noyau de , reviens à la définition de noyau d'une application linéaire ! Et n'oublie pas que le polynôme est le polynôme nul si et seulement si .

[PhilT]

>>Robot

Bonjour, et merci pour tes indications et conseils.

Pour le noyau, ce sont les polynômes P de Rn[X] dont l'image par f est le polynôme , telle que ce polynôme soit nul, ce qui signifie - comme tu me l'as rappelé - que tous ses coefficients sont nuls, donc les polynômes P de Rn[X] qui vérifient (au moins) et , donc dont et sont les ou des racines (réelles).
C'est donc l'ensemble E de la première question.

Pour l'image, moins évident (pour moi). Je suis la piste que tu m'as indiquée, qui me donne une première idée de ce que je dois trouver.

et étant donnés, et différents, je peux trouver un polynôme P vérifiant et , par exemple un polynôme de degré 2 de l'indéterminée x tel que P(x) = ax² + bx + c , dont les coefficients a et b vérifient , le coefficient c se déduisant des valeurs de a et b retenues pour que les conditions et soient vérifiées, donc oui

Raisonnement semblable pour montrer que la constante ;un polynôme de degré 2 dont les coefficients a et b vérifient , le coefficient c se déduisant des valeurs de a et b retenues pour que les conditions et soient vérifiées.

Que conclure de ces vérifications que tu m'as suggérées sur les composantes de la base canonique de ? Tu m'as indiqué que Im f est contenue dans l'ev des polynômes de degrés 0 ou 1 (ou ), ce que je conçois bien,mais intuitivement ; je ne vois pas (encore) comment le démontrer mathématiquement ; peux-tu m'aider en ce sens stp ?

[Robot]

Par définition même, pour tout polynôme de , est dans . Ca ne te semble pas clair que le degré de est inférieur ou égal à 1 ???
Tu te compliques la vie pour trouver un polynôme tel que et . Il suffit de prendre un polynôme de la forme , avec bien choisi (tu vois comment choisir ?).
Enfin, si tu sais que est un sous-espace de , que et que , tu ne vois pas comment conclure ?

[PhilT]

>> Robot

Suite à ton précédent message, à ta première question je réponds OUI, bien sûr.

Pour le choix de , , cette idée me permettant de répondre à la question 4a

Quant à Im f, sachant que tout polynôme de peut s'écrire comme combinaison linéaire de 1 et de X, j'en conclus que Im F est la partie pleine de , donc Im f = .

Je passe à la 4b, mais reste à l'écoute de tes commentaires sur ce qui précède ; merci

[Robot]

OK OK OK OK (pour faire les 10 caractères exigés)

[PhilT]

merci Robot.

J'ai répondu à 4b par une récurrence sur n, et pense avoir fait la bonne déduction pour la 4c.

A la dernière question de 4c, je réponds non, dans la mesure où l'intersection de et n'est pas réduite au polynôme nul ; ce serait même E tout entier ...

A ton écoute si tu as des remarques à faire sur la façon dont j'ai traité la fin du problème, sinon je te remercie pour tes précieux conseils.

Bien cordialement

[Robot]

Peux-tu expliquer ton "ce serait même E tout entier" ??

[PhilT]

Oui, dans le mesure où l'énoncé indique

E, ensemble des polynômes de Rn[X] possédant les racines et .

, j'en déduis que les éléments de E appartiennent à , non ?

[Robot]

OK, j'avais oublié ce que désignait E.