Espace vectoriel des fonctions polynôme

[PhilT]

Bonjour

Un exercice demande de démontrer qu' une famille constituée d une fonction polynôme P de degré n et ses n fonctions dérivées successives est linéairement indépendante.

La démonstration est-elle valide en faisant une récurrence sur n, amorcée avec n = 0?

Merci de me dire

[PhilT]

Plus précisément, que la famille des n+1 polynômes est formée de vecteurs linéairement indépendants!

[L.A.]

Bonjour,

c'est une bonne piste en effet, quelle est ton idée plus précisément ?
Rmq : la démo peut se généraliser à n'importe quelle famille de polynômes de degrés dits "échelonnés".

[zygomatique]

salut

bof une récurrence est artificielle .... avec le résultat sur les degrés ...

[PhilT]

J'ai un doute sur le point suivant

Corps de la récurrence (2ème étape) :

On suppose

Hérédité (3ème étape)

Si le corps de la récurrence est supposé vrai, alors



et dans ces conditions on peut/pourrait écrire , en tout cas çane me semble pas nécessairement incompatible avec l'hypothèse précédente, ou bien ? auquel cas la famille des p+2 polynômes serait liée.

Donc mon doute porte sur la façon de passer de la 2ème étape qui n'entraînerait pas NECESSAIREMENT la 3ème.

Merci de me dire ce que vous en pensez

>>Zygomatique : que dois-je comprendre par "résultat sur les degrés"?

[Mikihisa]

Peut être que tu peux essayer de représenter ta famille de polynome dans une matrice pour y voir plus clair, en prenant comme base la base canonique 1,X,....,X^n

[PhilT]

>>Mikihisa : je n'ai pas bien saisi ton idée ; si je te suis bien, je devrais former une matrice triangulaire (n+1;n+1) aux coefficients parfois assez longs à écrire... et ensuite ? L'exercice étant donné dans le cadre d'un chapitre situé avant l'étude des matrices, je ne pense pas que ce soit la méthode attendue, mais pourquoi pas ?

Peut-être ton idée d'écrire une matrice pourrait-elle se ramener à poser un système de n+1 équations homogènes à n+1 inconnues au total, non ?

Merci de me dire

[zygomatique]

:doh:

soit P un polynome de degré n ...

soit a_0, a_1, ..., a_n des réels tels que (1)

le monome de plus haut degré n appartient à P donc (1) est vraie implique que a_0 = 0

on recommence avec P' .... et le seul monome de degré n - 1 ....

[PhilT]

Si je t'ai bien compris,
à partir de la définition du polynôme nul qui stipule que c'est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, en développant (1) on ne trouve qu'un unique terme (monôme) de degré n, dont le coefficient est le produit du coefficient non nul du terme de degré n dans P multiplié par , donc nécessairement est nul.

Sachant que est nul, on poursuit avec le terme de degré n-1 dans (1) développé, et on déduit rapidement que est nul et de proche en proche en proche que tous les sont nuls.

merci

[zygomatique]

exactement ....

[PhilT]

>>Zygomatique : merci pour ton aide efficace