Espace L²(R)

par **MacManus** » 03 Jan 2010, 22:30

Bonsoir !

,

, on définit

1) Montrer que

(sans calculer la norme), puis calculer

2) Pourquoi la suite de fonctions

ne converge-t-elle pas dans

quand

Je sais que

ssi

<

Pour la 1, ça ne doit pas être bien compliqué, mais je mélange les 2 parties de la question et je m'embrouille dans les inégalités... bref serait-ce possible d'avoir un petit coup de main ?

Pour la 2, je dirais que celà vient du fait que 1/x n'est pas dans L1(R) et à fortiori pas dans L2(R), puisque L2(R) est inclu dans L1(R).

Merci de bien vouloir m'aider !

par **Doraki** » 03 Jan 2010, 22:43

Fais gaffe, L2(R) n'est pas inclus dans L1(R).
Les fonctions fn ne sont pas dans L1(R), si je ne m'abuse.
Et attends d'avoir fait la 1 avant de faire la 2.

Ils te demandent d'abord d'expliquer rapidement pourquoi l'intégrale est finie, avant de chercher à la calculer exactement.

Donc, elle ressemble à quoi, l'intégrale, dans le calcul de la norme de fn ?

par **fourize** » 03 Jan 2010, 23:02

bonsoir tout les deux !

je vais peut être dire une betise Doraki ...

si c'est vrai, l'integrale est égala

oups, elle ne converge pas et je ne vois pas l'erreur :doh:

par **Ben314** » 03 Jan 2010, 23:10

Bonsoir,

fourize a écrit:

Jusque là, tout va bien, mais le problème c'est la (les) détermination du logarithme dans

...
De plus, ce n'est pas fn qu'il faut (essayer d') intégrer mais |fn|²...

Pour MacManus, qu'as tu écrit pour la 1) ?
Pour moi, la formulation de la question en deux parties est assez naturelle : on montre que l'intégrale converge avant de la calculer...

par **MacManus** » 03 Jan 2010, 23:15

ie :

J'ai peur de m'être planté...

par **Ben314** » 03 Jan 2010, 23:21

MacManus a écrit:=

Je comprend pas ton "inférieur ou égal à 1/2..."
Si on exprime bètement le carré du module, on tombe sur une égalité.
Arrivé à ce point, il faut justifier que l'intégrale converge (il suffit quasiment de la regarder)
puis calculer cette intégrale (là, il faut un peu de technique sur les primitives des fractions rationelles...)

par **MacManus** » 03 Jan 2010, 23:35

Ah oui j'ai utilisé le fait que |a+b|² <= 2(|a|² + |b|²), mais ici il s'agit d'un module donc c'est pas pareil, ok merci!

la dernière intégrale vaut [arctan(nx)] (entre - infini et + infini) est on obtient

et donc au final, l'intégrale (de départ) est majorée par

. L'intégrale est convergente

ps : en faisant le changement de variable u = nx, on peut majorer par

(si je ne dis pas de bêtise). En fait ce que j'ai dit avant mon ps est faux...

par **Doraki** » 04 Jan 2010, 00:06

Pourquoi tu majores alors que c'est des égalités partout ?

par **MacManus** » 04 Jan 2010, 00:10

Jdois être fatigué ou complètement idiot

, mais je viens de calculer

, dans le post précédent, mais je n'est pas montré que l'intégrale était convergente ?...

(OUI Doraki tu as raison ya pa besoin de majorer, car j'ai bien calculé la norme)

On a

<

Donc

par **MacManus** » 04 Jan 2010, 10:45

Bonjour

MacManus a écrit:
, , on définit

2) Pourquoi la suite de fonctions ne converge-t-elle pas dans quand

Je n'ai pas eu la bonne intuition dans mon 1er post pour cette question, est-ce que qqn peut me guider ? Merci à vous

par **Ben314** » 04 Jan 2010, 11:22

MacManus a écrit:...je viens de calculer , dans le post précédent, mais je n'est pas montré que l'intégrale était convergente ?...

Je pense que ce que l'on te demandais, AVANT de calculer l'intégrale, c'est de dire que

est positive continue sur

et est équivalente en

à

qui est intégrable DONC la fonction est intégrable sur

.

En ce qui concerne la deuxième question, il y a des tas de méthodes, mais ici, la plus simple de loin est d'utiliser la première question :
Une suite de fonctions

telle que

peut-elle être convergente ?

par **MacManus** » 04 Jan 2010, 14:06

eh bien non satan vers l'infini. Donc pas d'appartenance à L^2(R)

merci Ben314

par **MacManus** » 04 Jan 2010, 22:53

Bonsoir

MacManus a écrit:Je considère toujours la suite de fonctions définie par, , ,
et soit de plus , pourfixé, , où est l'échelon unité de Heaviside. La transformée de Fourier de u est , où est la valeur principale de 1/x et la masse de Dirac en 0.

1) On me demande de calculer la transformée de Fourier de

.

J'obtiens

(pour

)

2) On me demande d'en déduire la transformée de Fourier de

, notée

Là je bloque. Je pense que l'on peut décomposer partie réelle et partie imaginaire, mais je ne sais pas si ça sert à qqchose. Si vous pouviez m'aider une fois de plus. Merci beaucoup

par **Ben314** » 04 Jan 2010, 23:35

Bonsoir,
Sauf erreur, à un petit détail prés, tu as

et, comme la transformée de fourrier inverse est "presque" la même chose que la transformée de Fourrier directe...

par **MacManus** » 05 Jan 2010, 00:07

Dans ce cas, on peut écrire que

Mais évidemment je ne suis sûr de rien...

par **Ben314** » 05 Jan 2010, 00:16

Il faut quand même écrire "proprement" le lien entre

et

:

où

.

par **Ben314** » 05 Jan 2010, 10:14

Ce que j'ai écrit ci dessus ne va pas : on doit avoir a>0. Il faut écrire

pour avoir

.
On a alors :

par **MacManus** » 05 Jan 2010, 19:52

Je suis d'accord avec toi, merci beaucoup pour tes réponses.

Il me reste une question, concernant cette fois la transformée de Fourier au sens des distributions de

Montrer que la transformée de Fourier au sens des distributions de

,

,converge lorsque

vers une distribution tempérée que l'on calculera, et en déduire la limite au sens des distributions de

.

je trouve que

j'en déduis que

car l'opérateur transformée de Fourier inverse est continu de S*(R) dans S*(R) (espace des distributions tempérées). Or je connais

puisque je connais

, le problème c'est que j'arrive a des calculs un peu tordus... Je me demande donc si ce que j'ai écrit est correct ou pas.

je sollicite encore de l'aide si possible.

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