Espace Lp

[Houuda]

Bonjour
j ai besoin d aide ... je travaille sur L'ensemble des fonctions intégrables en valeur absolue ou en module de Ω dans K pour la mesure μ je sais que c est un espace vectoriel L1(Ω) et qu il possédant la semi-norme defini par l'integrale de la valeur absolue de f j arrive pas a comprendre pourquoi c est une semi norme on a l integrale d une fonction positive nulle si et seulement si la fonction est identiquement nulle (sur un segment [a,b]) .. je vois pas pourquoi La propriété de séparation n est pas vérifiée
Merci beaucoup

[Lostounet]

L'intégrale d'une fonction positive continue est nulle ssi elle est identiquement nulle.

Si tu n'as pas la continuité, il peut y avoir quelques points éparpillés (ie nombre fini) tels que la fonction positive soit non nulle en ces points et quand même avoir une intégrale nulle. L'espace L1 c'est pas que des fonctions continues.

[Ben314]

Si tu n'as pas la continuité, il peut y avoir quelques points éparpillés (ie nombre fini)

Voire même... légèrement plus...

1) Pour l'intégrale de Lebesgue, on peut par exemple prendre l'indicatrice de Q sur [0,1].

2) On peut aussi prendre l'indicatrice de l'ensemble triadique de Cantor (les réels de [0,1] dont une écriture en base 3 ne contient pas de 1) :
- Est elle Riemann intégrable ? Lebesgue intégrable ? Si oui, combien vaut l'intégrale ?
- Quel est le cardinal de l'ensemble des points où elle est non nulle ?

[Lostounet]

2) On peut aussi prendre l'indicatrice de l'ensemble triadique de Cantor (les réels de [0,1] dont une écriture en base 3 ne contient pas de 1) :
- Est elle Riemann intégrable ? Lebesgue intégrable ? Si oui, combien vaut l'intégrale ?
- Quel est le cardinal de l'ensemble des points où elle est non nulle ?

Heu... Des pistes?
Qui a eu l'idée de faire des décompositions triadiques ...


J'ai toujours du mal avec l'intégrabilité selon Riemann vs Lebesgue. Je croyais à la base qu'il fallait la continuité mais apparemment non pour la Riemann-intégrabilité. Depuis j'ai du mal à digérer.

[Ben314]

Qui a eu l'idée de faire des décompositions triadiques ...

Cantor ?

J'ai toujours du mal avec l'intégrabilité selon Riemann vs Lebesgue. Je croyais à la base qu'il fallait la continuité mais apparemment non pour la Riemann-intégrabilité. Depuis j'ai du mal à digérer.

L'indicatrice de l'ensemble de Cantor est bien Riemann-intégrable (et d'intégrale nulle).
Cherche comment la majorer par une fonction "en escalier" d'intégrale aussi petite qu'on veut : c'est assez immédiat.

Concernant la Lebesgue-intégrabilité, c'est immédiat vu que l'ensemble de Cantor est fermé, donc mesurable et qu'on vérifie aisément que sa mesure est nulle bien qu'il ait le même cardinal que [0,1].