Espace

[Anonyme]

Salut !

J'ai souvent lu que les mathématiciens parlaient '' d'espace'': espace vectoriel, espace de Hilbert, espace de Banach, espace métrique, ect.

Mais qu'est ce donc un '' espace ''? Si j' ai bien lu, il s'agirait d'un ensemble vérifiant certaines conditions (par exemple un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments vérifient par exemple l'associativite ou la commutativite).
J'ai juste ?

[L.A.]

Bonsoir.

Sans prétendre avoir autorité pour trancher la question, je suis assez d'accord. Un ensemble est un objet brut, une matière première, un espace est un ensemble muni d'une structure particulière, en général géométrique, c'est-à-dire qu'il faut penser que les éléments sont "disposés" d'une certaine façon.

1) Dans les espaces métriques, topologiques, les variétés, certains éléments sont proches les uns des autres, d'autre éloignés, on peut parler de voisinages, de continuité, etc...
2) Dans les espaces vectoriels, affines, projectifs, l'espace est structuré par des droites, certains points sont alignés, etc...
3) Certaines structures combinent les aspects métriques/topologiques (1) et géométriques/algébriques (2) : les espaces vectoriels normés, préhilbertiens, les groupes topologiques, les corps valués, les algèbres de Lie, etc...
4) Les espaces mesurés, probabilisés ont aussi une structure, moins forte qu'une structure géométrique

Etc... c'est une notion vaste et assez vague, je pense pas qu'il faille y attacher une importance particulière, mais dans l'idée c'est à peu près ça.

un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments vérifient par exemple l'associativite ou la commutativite

Je te signale au passage que cette phrase ne veut rien dire. C'est la loi définie sur l'espace qui est commutative/associative, pas les éléments.