Bonsoir,
je bloque sur cet exercice:
Dans l'espace
de toutes les suites réelles, on considère les vecteurs
})
définis par:
[CENTER]
}=1)
et
}=0)
si
[/CENTER]
On désigne par:
le sous-espace vectoriel des suites bornées, muni de
,
le sous-espace de
constitué des suites tendant vers 0, muni de la norme induite,
l'ensemble des suites
_{n\in \mathbb{N})
telles que
.
Pour tout
')
et
, on pose
}))e^{(n)})
où
=\{1 \mbox{ si } t\geq 0,\\ 0 \mbox{ sinon})
.
(a) Montrer que
. Calculer
et
)
. En déduire que
}))_{n\geq 1}\in l^1)
.
(b) Montrer que l'application
'\rightarrow (f(e^{(n)})_{n\geq 1})
est une bijection linéaire de
')
sur
(i.e. on peut "identifier"
et
). Calculer la norme de
dans
',l^1))
.
Pour la (a), j'ai trouvé
}))|= 0 \mbox{ ou } 1)
,
=\Bigsum_{n=1}^N \textrm{sgn}(f(e^{(n)})) f(e^{(n)}))
.
Là je ne vois pas coment en déduire que déduire que
.
[Edit] Pour la (b), j'ai montré que
est une bijection linéaire et que pour toute
,
||_1)
,
mais je n'arrive pas à montrer que
est continue sur
et déterminer sa norme.
Merci pour votre aide.
