Espace métrisable.

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:
Qu'est ce que ça veut dire la définition suivante :
Un espace topologique est métrisable s"il existe une métrique qui induit sa topologie.
Qu'est ce que ça veut dire une métrique qui induit une topologie ?
Il y'a une autre définition qui caractérise un espace métrisable :
Un espace est métrisable s'il est homéomorphe à un espace métrique.
Est ce que un espace homéomorphe à un espace métrique n'est pas forcément un espace métrique ? Vous avez un exemple ?
Merci pour vos réponses.

[ev85]

Bonjour à tous, :happy3:
Qu'est ce que ça veut dire la définition suivante :
Un espace topologique est métrisable s"il existe une métrique qui induit sa topologie.
Qu'est ce que ça veut dire une métrique qui induit une topologie ?
Il y'a une autre définition qui caractérise un espace métrisable :
Un espace est métrisable s'il est homéomorphe à un espace métrique.
Est ce que un espace homéomorphe à un espace métrique n'est pas forcément un espace métrique ? Vous avez un exemple ?
Merci pour vos réponses.

Bonjour Pablo.

Une topologie induite par une distance signifie que les ouverts sont des réunions de boules ouvertes pour cette distance.

[barbu23]

D'accord. Merci ev. :happy3:
On m'a déjà donné la réponse ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,769599

[L.A.]

Bonjour.

Un espace métrique il est muni d'une topologie naturelle, mais pour un espace topologique en général il n'existe pas nécessairement de distance qui induise cette topologie. Par exemple un espace topologique métrisable est toujours séparé au sens de Haussdorff (et les points sont fermés). En particulier si X est un ensemble contenant au moins deux éléments muni de la topologie grossière (ouverts X et vide) alors X n'est pas métrisable.

Si f : (X,O) e.t. -> (Y,d) e.m. est un homéomophisme (continuité au sens topologique) alors la distance d'(x,y) = d(f(x),f(y)) induit la topologie O sur X.