Espace Métrique

[MouLou]

Bonjour, j'ai un autre exercice qui a l'air basique mais sur lequel je bloque ...
Les sous ensembles suivant sont ils ouvert ? fermés ?

N, Z, Q, [1, + l'infini[, complémentaire de Q

Et la franchement je n'ai aucune idée de comment répondre ...

Par exemple N est l'ensemble des entiers naturel, c'est l'ensemble des valeurs 1, 2, 3 ... etc jusqu'a + l'infini, donc en appliquant la définition d'un ouvert je devrai avoir pour chaque nombre entier n un intervalle dans lequel il est contenu hors ici je ne peu prendre aucun intervalle vu que j'ai des entiers ... donc je pense deja que ce n'est pas un ouvert, et donc si il n'est pas ouvert il est fermé non ?

Il n est effectivement oas ouvert pour la raison que tu as donnée, mais cela ne le rend pas necessairement fermé! Regarde son complementaire qui est l union des in tervalles ouverts ]n,n+1[. Est il ouverts?

[Rik95]

et bien oui, je pense que son complémentaire est ouvert vu qu'il est union d'intervalle ouvert non ?

[MouLou]

et bien oui, je pense que son complémentaire est ouvert vu qu'il est union d'intervalle ouvert non ?

Oui, mais quand tu n es pas a l aise, l écrire proprement ne peut que te faire du bien

[Rik95]

Ok ^^

Pour Z, je pense que c'est la meme chose que N, il est fermé et son complémentaire est ouvert

[Rik95]

Bonsoir,

J'ai un autre exo sur lequel je n'arrive pas a demarrer, on nous demande d emontrer que tout ensemble fini de R est fermé ? est ce que la reciproque est vrai ?

[MouLou]

Bonsoir,

J'ai un autre exo sur lequel je n'arrive pas a demarrer, on nous demande d emontrer que tout ensemble fini de R est fermé ? est ce que la reciproque est vrai ?

Même démarche, quel est le complémentaire d'un ensemble fini? (Encore plus simple que N). Pour la réciproque, un segment est fermé non?

[Rik95]

Justement je ne vois pas trop ce qu'est le complémentaire d'un ensemble fini ... un ensemble infini ? si c'est le cas, est ce qu'on peut dire que tout ensemble infini est ouvert ? ( si oui cela prouverai directement qu'un ensemble fini est fermé je pense )

[MouLou]

Justement je ne vois pas trop ce qu'est le complémentaire d'un ensemble fini ... un ensemble infini ? si c'est le cas, est ce qu'on peut dire que tout ensemble infini est ouvert ? ( si oui cela prouverai directement qu'un ensemble fini est fermé je pense )

Donne moi précisément ta définition d'un ensemble ouvert stp.

Je t'ai donné le complémentaire de N (relis plus haut) pour le complémentaire d'un ensemble fini c'est le même principe mais en beaucoup plus simple! tu prends l'intervalle ouvert entre 2 points, et pour les points extremaux c va etre de la forme et . Ecrit le

[Rik95]

Un ouvert, c'est une réunion de boule ouverte ou d'intervalle ouvert.
J'ai compris pour le complémentaire de N mais pour ce cas, je ne vois pas trop, j'ai plus de mal

Par exemple si je prend un ensemble fini [1, 2 ] pour moi son complémentaire c'est ]- l'infini, 1[ et ]2, + l'infini [ , mmmm je crois que j'ai compris c'est en effet simple, je ne sais pas pourquoi j'ai eu du mal avec sa ... donc je pense que pour la démonstration on pourrai dire que le complémentaire d'un ensemble fini, est la reunion de 2 ouvert c'est donc un ouvert

[MouLou]

Un ouvert, c'est une réunion de boule ouverte ou d'intervalle ouvert.
J'ai compris pour le complémentaire de N mais pour ce cas, je ne vois pas trop, j'ai plus de mal

Par exemple si je prend un ensemble fini [1, 2 ] pour moi son complémentaire c'est ]- l'infini, 1[ et ]2, + l'infini [ , mmmm je crois que j'ai compris c'est en effet simple, je ne sais pas pourquoi j'ai eu du mal avec sa ... donc je pense que pour la démonstration on pourrai dire que le complémentaire d'un ensemble fini, est la reunion de 2 ouvert c'est donc un ouvert

Es tu sur que c'es cela la définition que ta prof t'as donnée? car tu es venu avec ce topic pour montrer qu'un ouvert est reunion de boules ouvertes...

Par ailleurs je comprends pas. pour toi l'ensemble fini que tu notes [1,2] c'est le segment [1,2]? ou c'est bien {1,2}? dans le premier car ce n'est pas du tout fini, mais son complementaire c'est bien ]- l'infini, 1[ union ]2, + l'infini [.

En revanche si tu prends {1,2} il manque qqchose...

Au passage tu viens de montrer qu'un segment etait fermé, félicitations!

[Rik95]

Honnêtement je ne comprend absolument rien de ce que le prof nous donne pendant le cours ... il est beaucoup trop rapide il ne nous laisse pas le temps de comprendre et il efface le tableau trop vite ... et en TD c'est pire ><

Jusqu’à présent ce que j'ai compris sur les ouverts vient principalement de vos réponses, j'ai essayer de chercher de exercices corriger sur les espaces metrique sur le net mais jusqu'a maintenant je n'ai pas trouver ce que je chercher ... les rares exo corrigé que je trouve ne sont pas du meme style que ce que le prof nous donne, et quand je trouve des exo qui corresponde plus ou moins a ce que je cherche il n'y a pas de correction :/

pour ta remarque, je ne vois pas trop la différence quand tu parles de segment et d'ensemble, la reponse n'est pas la meme dans les 2 cas ?

[MouLou]

Honnêtement je ne comprend absolument rien de ce que le prof nous donne pendant le cours ... il est beaucoup trop rapide il ne nous laisse pas le temps de comprendre et il efface le tableau trop vite ... et en TD c'est pire ><

Jusqu’à présent ce que j'ai compris sur les ouverts vient principalement de vos réponses, j'ai essayer de chercher de exercices corriger sur les espaces metrique sur le net mais jusqu'a maintenant je n'ai pas trouver ce que je chercher ... les rares exo corrigé que je trouve ne sont pas du meme style que ce que le prof nous donne, et quand je trouve des exo qui corresponde plus ou moins a ce que je cherche il n'y a pas de correction :/

pour ta remarque, je ne vois pas trop la différence quand tu parles de segment et d'ensemble, la reponse n'est pas la meme dans les 2 cas ?

Elle a quand même forcément donné un définition! Peut être que c est celle que zygomatique t a donnée par exemple, qui permet de tout faire quand on la manipule avec respect

Pour les ensembles il va vraiment falloir faire qq. chose pour rattraper le retard. Tu ne peux clairement pas faire de topologie sans connaître la différence entre un intervalle et un ensemble fini...

L intervalle [a,b] c est l ensemble de tous les points de R compris entre a et b, alors qu un ensemble fini comme son nom indique, il a un nombre fini d éléments.... Par exemple {a,b} qui ne possède que à et b pour éléments.

[Rik95]

Mmm dacc je vois ce que tu veux dire pour la différence entre ensemble et intervalle, donc vu sous cette ongle je dois rajouter ] 1, 2 [ au complémentaire que j'ai donné plus haut ?
sa donnerai donc ]- l'infini, 1[ union ]1, 2[ union ]2, + l'infini [.

[Rik95]

Est ce que pour cette demonstration il est suffisant de dire que le complémentaire d'un ensemble fini est egal a ]-l'ifini, a[ union ]a,b[ unison ]b, + l'infini [ et vu que la reunion d'ouverts est un ouvert, on a donc le complémentaire du complémentaire fermé ( qui est l'ensemble fini .. )

[MouLou]

Oui, cela suffit, mais dans le cas où tu n'as pas 2 éléments mais plusieurs, disons n, il faut préciser les ensembles.

[Rik95]

Je vois, il serai donc plus juste de dire que c'est egal a ] - l'inifni, a[ union ] a, n0 [ union ] n0, n1 [ .... union ] n, b [ union ] b, + l'infini [
Pour la réciproque, on a que tout ensemble fermé implique que l'ensemble est fini cela est faux car si je prend l'ensemble [a, b ] comme tu la dis plus haut c'est l'ensemble de tous les points de R compris entre a et b et il est fermé, mais il n'a pas un nombre fini de valeurs, est ce que c'est bien sa ?

[MouLou]

Je vois, il serai donc plus juste de dire que c'est egal a ] - l'inifni, a[ union ] a, n0 [ union ] n0, n1 [ .... union ] n, b [ union ] b, + l'infini [
Pour la réciproque, on a que tout ensemble fermé implique que l'ensemble est fini cela est faux car si je prend l'ensemble [a, b ] comme tu la dis plus haut c'est l'ensemble de tous les points de R compris entre a et b et il est fermé, mais il n'a pas un nombre fini de valeurs, est ce que c'est bien sa ?

Oui c est ca

[Rik95]

Ok merci ^^ , je pense que je vais essayer d'attaquer des exercices de plus haut niveau xD, j'ai celui la sous la main, est ce que tu pourrai me donner quelques indications pour demarrer stp ? ^^

Exercice :

On appele pavé ouvert de R^n tout sous ensemble de la forme P = I1*I2*..*In ou chaque I indice j est un intervalle ouvert de R
On dira qu'un sous ensemble omega de R^n est un ouvert de R^n si omega = l'ensemble vide ou si pour tout x appartenant a omega il est existe un pavé ouvert p indice x tel que x appartient a p indice x et est contenu dans omega
1 montrer que R^n, l'ensemble vide sont des ouverts de R^n
2 montrer que toute réunion d'ouverts de R^n est un ouvert
3 montrer que toute intersection finie d'ouverts de R^n est un ouvert, ainsi nous definissons une topologie sur R^n appelée topologie usuelle de R^n
4 montrer que tout ouvert de R^n est reunion de pavés ouverts
5 montrer que pour tous x et y distincs, il existe des pavés ouverts P indice x et P indice y tels que x appartient a P indice x et y appartient a P indice y et p indice x intersection P indice y = l'ensemble vide.

[Rik95]

Personne n'a d'idées ? :/