Espace Métrique

[Rik95]

Bonjour,
J'aurai grandement besoin de votre aide pour comprendre la façon de résoudre des exercices sur les espaces métrique, j'ai énormément de mal avec ce chapitre, il n'y a aucun calcul ... dans tout les exercices il faut faire une ou plusieurs démonstration et c'est la mon grand point faible, je ne sais même pas comment démarrer une démonstration ...

Quelqu'un pourrai m'aider a m’améliorer a travers des exemples/conseil svp ?

Par exemple notre professeur a résous plusieurs exercices en TD, pour vous dire a quel point je n'ai rien compris, je n'ai même pas su quoi recopier .... et selon lui s’était parmi les exercices les plus faciles ( la question etait de demontrer que tout ouvert omega de R est reunion d'intervalle ouverts, puis de montrer la meme chose pour l'intersection et la reunion de 2 ouverts .. )

Merci d'avance pour votre aide ^^ , bonne journée

[MouLou]

Je vois pas en quoi cet exercice est "parmi les plus faciles"...

Quelle est ta définition des ouverts?

[Rik95]

Merci pour ta réponse rapide

Bah pour moi un intervalle ouvert c'est un ensemble compris entre 2 valeurs qui ne sont pas incluse dans l'intervalle, tel que pour tout x de R qui est compris entre 2 nombres a et b ( a < x < b ) on a jamais l’égalité, x est toujours strictement supérieur a et strictement inférieur a b

[MouLou]

Ok pourquoi pas, ca c'est un intervalle ouvert. Mais un ouvert c'est quoi?

[Rik95]

Euh désolé mais je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire :/
J'ai essayer de faire une recherche rapide et de revoir le cours, apparemment un sous ensemble de E est appelé ouvert si il est voisinage de tout ses éléments mais j'avoue ne pas très bien comprendre cette définition :/

Si je devais essayer de l'expliquer mathématiquement je dirai que cela veut dire que pour tout ouvert A = ]a, b [on a tout les a + epsilon et b - epsilon inclue dans l'ensemble mais cela revient a dire plus ou moins la meme chose que j'ai dit plus haut, je ne vois pas plus :/

[mrif]

Bonjour,
J'aurai grandement besoin de votre aide pour comprendre la façon de résoudre des exercices sur les espaces métrique, j'ai énormément de mal avec ce chapitre, il n'y a aucun calcul ... dans tout les exercices il faut faire une ou plusieurs démonstration et c'est la mon grand point faible, je ne sais même pas comment démarrer une démonstration ...

Quelqu'un pourrai m'aider a m’améliorer a travers des exemples/conseil svp ?

Par exemple notre professeur a résous plusieurs exercices en TD, pour vous dire a quel point je n'ai rien compris, je n'ai même pas su quoi recopier .... et selon lui s’était parmi les exercices les plus faciles ( la question etait de demontrer que tout ouvert omega de R est reunion d'intervalle ouverts, puis de montrer la meme chose pour l'intersection et la reunion de 2 ouverts .. )

Merci d'avance pour votre aide ^^ , bonne journée

Soit un ouvert et x un élément de .
Il existe un intervalle ouvert centré en x (boule ouverte de centre x) qui est contenu dans (par définition). est l'union des intervalles .

Ce qu'on te demande découle immédiatement de la définition d'un ouvert dans un espace métrique. C'est un peu plus compliqué si on te demandait de montrer que tout ouvert est une union dénombrable d'intervalles ouverts et je pense que c'est à quoi pense Moulou quand il dit "Je vois pas en quoi cet exercice est "parmi les plus faciles"" .

Pour l'union de 2 ouverts, c'est encore immédiat puisque l'union de 2 ouverts est un ouvert qui raméne à la question précédente. Meme chose pour l'intersection de 2 ouverts.

[MouLou]

Euh désolé mais je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire :/
J'ai essayer de faire une recherche rapide et de revoir le cours, apparemment un sous ensemble de E est appelé ouvert si il est voisinage de tout ses éléments mais j'avoue ne pas très bien comprendre cette définition :/

Si je devais essayer de l'expliquer mathématiquement je dirai que cela veut dire que pour tout ouvert A = ]a, b [on a tout les a + epsilon et b - epsilon inclue dans l'ensemble mais cela revient a dire plus ou moins la meme chose que j'ai dit plus haut, je ne vois pas plus :/

C'est la que je ne comprends pas non plus. Si ta prof parle d'ouvert, elle a du te le définir dans ton cours non?
En gros dans le cas de R, on dit qu'un ensemble est ouvert si pour tout x dans , il existe un intervalle centré en x qui est inclus dans , (en gros en tout point de , tu peux te déplacer un peu à droite et à gauche et rester dans t'as une marge de manoeuvre!)

Sinon oui mrif tu as raison, sans la demande "dénombrable" c'est beaucoup plus simple!

[zygomatique]

salut

définition un peu restrictive ....

un ensemble E est ouvert si pour tout x contenu dans E il existe un intervalle ouvert I contenant x et inclus dans E ...


cela suffit amplement !!!



donc pour l'exemple donné :: soit E un ouvert de R

alors par définition : pour tout x il existe un intervalle ouvert contenant x et inclus dans E


alors

:lol3:

[Rik95]

Merci pour toute vos réponses, Je commence a un peu comprendre ce que veut dire un ouvert ( je n'avais pas vraiment compris la définition comme ça en cours ... )

en gros pour la démonstration du première exemple il est suffisant de dire que pour tout x contenu dans omega il existe une boule ouverte de centre x et de rayon r et que vu que omega est la reunion de tout les x, il est donc egale a la reunion de toute les boules ouvertes ?

[zygomatique]

ouais ... enfin il est inutile de parler de boules si des intervalles ouverts suffisent ....

[mrif]

ouais ... enfin il est inutile de parler de boules si des intervalles ouverts suffisent ....

Je ne comprends pas ta remaque.
Rik95 a bien compris et sa réponse est correcte.
Dans un espace métrique quel qu'il soit on parle de boule même quand il ne s'agit que de R.

On intervient sur un post pour apporter une plus value aux conributions précédentes
et non pas pour avoir le dernier mot.

[Rik95]

Cool, je commence enfin a comprendre un peu ^^
Je vais essayer pour la réunion du coup meme si je ne sais pas trop par ou commencer xD
soit Alpha et Béta 2 ouvert, en utilisant le résultat de la première démonstration on peut dire qu'alpha est la réunion de toute les boules ouverte de centre x et que béta est la réunion de toute les boules ouverte de centre y et que la réunion de toute les boules ouverte de centre x et les boules ouverte de centre y est une boule ouverte qui est egal a la réunion de alpha et de béta, on obtient donc que la réunion de 2 ouvert est un ouvert

Suis je sur la bonne voie ou je mélange tout ? ^^

[mrif]

Cool, je commence enfin a comprendre un peu ^^
Je vais essayer pour la réunion du coup meme si je ne sais pas trop par ou commencer xD
soit Alpha et Béta 2 ouvert, en utilisant le résultat de la première démonstration on peut dire qu'alpha est la réunion de toute les boules ouverte de centre x et que béta est la réunion de toute les boules ouverte de centre y et que la réunion de toute les boules ouverte de centre x et les boules ouverte de centre y est une boule ouverte qui est egal a la réunion de alpha et de béta, on obtient donc que la réunion de 2 ouvert est un ouvert

Suis je sur la bonne voie ou je mélange tout ? ^^

Ta méthode est correcte mais elle n'est pas bien rédigée.

Il y a plus simple:

Soient 2 ouverts.
est un ouvert car l'union de 2 ouverts est un ouvert. Et là tu appliques le résultat de la première question à l'ouvert .

[Rik95]

d'acc merci

Pour l'intersection omega 1 inter omega 2 est un ouvert car l'intersection de la reunion de toute les boules ouverte de omega 1 avec celles d'omega 2 est un ouvert ( on obtient soit une boule ouverte soit un espace vide )

J'aurai une question aussi, pour la definition d'un fermé c'est tout simplement que pour tout x dans omega il existe un intervalle fermé centré en x ? ( boule fermé de centre x )

[zygomatique]

soit a un réel de l'intervalle ouvert ]0, 1[ ....

alors l'intervalle [a/2, (a + 1)/1] est fermé, contient a et est inclus dans l'ouvert ]0, 1[

....

[MouLou]

d'acc merci

Pour l'intersection omega 1 inter omega 2 est un ouvert car l'intersection de la reunion de toute les boules ouverte de omega 1 avec celles d'omega 2 est un ouvert ( on obtient soit une boule ouverte soit un espace vide )

J'aurai une question aussi, pour la definition d'un fermé c'est tout simplement que pour tout x dans omega il existe un intervalle fermé centré en x ? ( boule fermé de centre x )

Non, un fermé c est le complémentaire d un ouvert, tu peux pas dire grand chose de plus. Mais un intervalle fermé est fermé (son complémentaire est ouvert)

[Rik95]

Ok merci pour votre aide je commence a comprendre un peu les bases ^^ mais j'ai encore du mal avec mes exos de TD :/
Auriez vous par hasard des exercice corrigés qui me permettrai de m’améliorer ?

[MouLou]

Ok merci pour votre aide je commence a comprendre un peu les bases ^^ mais j'ai encore du mal avec mes exos de TD :/
Auriez vous par hasard des exercice corrigés qui me permettrai de m’améliorer ?

Je vais essayer de chercher des trucs, mais un tres bon exo en topologie, c'est deja de prendre toutes les propriétés de ton cours et de les démontrer, ca fait deja des exos corrects

[Rik95]

Merci à toi ^^, oui effectivement se serai une bonne chose mais sans corrigé je ne saurai pas ce que ma démonstration vaut :/

[Rik95]

Bonjour, j'ai un autre exercice qui a l'air basique mais sur lequel je bloque ...
Les sous ensembles suivant sont ils ouvert ? fermés ?

N, Z, Q, [1, + l'infini[, complémentaire de Q

Et la franchement je n'ai aucune idée de comment répondre ...

Par exemple N est l'ensemble des entiers naturel, c'est l'ensemble des valeurs 1, 2, 3 ... etc jusqu'a + l'infini, donc en appliquant la définition d'un ouvert je devrai avoir pour chaque nombre entier n un intervalle dans lequel il est contenu hors ici je ne peu prendre aucun intervalle vu que j'ai des entiers ... donc je pense deja que ce n'est pas un ouvert, et donc si il n'est pas ouvert il est fermé non ?