Espace métrique

[Ncdk]

Bonsoir,

Soit un ensemble et soit une application.

1- On suppose que définie par si et sinon. Prouver que est une distance .
2- Décrire les parties ouvertes et les parties fermées de l'espace métrique
3- On suppose que . On suppose que d est définie par . Prouver que est une distance sur .
4- Déterminer les boules ouvertes , et .
5- Que peut-on dire de la topologie définie par ?

Réponse :

1- Pas eu de soucis.
2- Je ne comprends pas la question, est-ce que c'est équivalent à dire de décrire les boules ouvertes et fermés de cet espace métrique ?
3- Pas eu de soucis.
4- Pas eu de soucis.
5- Je ne sais pas ce que je peux répondre, ni comment m'y prendre.

Je voudrais donc de l'aide pour la question 2- et la question 5-

Merci

[Robic]

Bonsoir ! Je ne me souviens plus trop des espaces métriques, mais je pense que dans la question 2, tu dois décrire ce que sont les ouverts et ce que sont les fermés. Ce n'est pas n'importe quoi puisqu'ici la distance ne peut valoir que 0 ou 1. Par exemple on dirait que toute boule qui n'est pas un singleton est de rayon 1. Ça devrait avoir des conséquences sur les ouverts de cet espace. (Je n'ai pas trop réfléchi, mais j'ai l'impression que tout ensemble contenant au moins deux éléments contient forcément une boule de rayon 1 centré sur n'importe quel élément, donc est forcément ouvert, mais je dis peut-être des bêtises...)

[mathelot]

c'est pire que ça: toutes les parties sont ouvertes et fermées avec la topologie discrète

[Robic]

Ah mais oui, la topologie discrète ! Effectivement je ne me souviens plus des espaces métriques... :technicol

D'ailleurs c'est assez facile. J'ai cité les ensembles ayant au moins deux éléments, mais les singletons sont aussi évidemment des ouverts puisque la boule ouverte de centre x contient x ! Ensuite, un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert, du coup on voit immédiatement ce que sont les fermés...

(Il y a juste l'ensemble vide qui me laisse incertain, parce que je ne sais plus si un ouvert ou un fermé doivent être non vides.)

[mathelot]

et X sont ouverts et fermés.

[Ncdk]

Ah oui effectivement, c'est la distance discrète, mais comment ça se justifie que c'est la topologie discrète ?

[Doraki]

Ben c'est quand même pas dur de montrer que toute partie de X est ouverte :
Soit A une partie de X.
Soit x dans A.
A contient {x} = boule ouverte de centre x et de rayon 1,
donc A est un voisinage de x.
Donc A est ouvert.
Donc ;) = P(X)

Pour la question 5 c'est pareil, la topologie définie par d est une topologie qui devrait t'être très familière et tu devrais la reconnaître.