Espace métrique/ouvert

[elvis77]

Bonjour à tous,

J'ai un souci sur un énoncé d'exercice le voici : Soient(X,d) un espace métrique et A une partie de X. On munit A de la distance induite.
Question : Montrer que les ouverts de A sont les ensembles de la forme A inter U avec U ouvert dans X.

J'ai écrit d'un côté ce que voulait dire "ouvert de A" et d'un autre côté j'ai essayé d'écrire ce que veut dire A inter U avec U ouvert dans X.

Je ne comprends pas certaines choses :
1) "Ouvert dans X", c'est pareil que dire "ouvert de X" ?
2)"sont les ensembles", je ne vois pas quelle démarche adopter pour résoudre ce problème, dois je poser "ouverts de A=A inter U" et après ?

Merci de votre aide dominicale.

Cordialement.

[Nightmare]

Salut !

1) Oui c'est la même chose !

2) Raisonner par exemple par double inclusion ! L'inclusion de droite à gauche (A inter U est un ouvert de A) est triviale, il faut un peu plus travailler pour l'inclusion de gauche à droite mais il suffit d'écrire la définition d'un ouvert !

[elvis77]

Merci pour votre réponse,
Mais il y a surement une chose qui me bloque :

Dans l'inclusion soit disant triviale, je ne vois pas quel argument utilisé pour dire que A inter U est un ouvert de A si ce n'est l'intersection fini d'ouvert est un ouvert or U est un ouvert de X et non de A. (je sais pas si vous me suivez?)

Pour l'autre inclusion, j'ai mis : soit V un ouvert de A, i.e. pour tout v appartenant à V, il existe r>0 tq B(v,r) inclus dans V. Ensuite il faut que je montre que ce même v appartient à A inter U c'est bien cela ? Si oui, je ne vois pas comment faire!

Bien cordialement.

[elvis77]

donc ta phrase résouds mon exercice, merci, je n'aurais pu trouver car on n'a pas encore étudié la métrique induite. Mais l'exo n'étant pas fini, je pourrai continuer à réfléchir sur la suite.
Merci à tous.
Cordialement, bonne soirée.