Espace discret...

par **Zapata** » 23 Fév 2008, 16:59

Bonjour à tous, dans un travail, on me demande si un espace est discret. Ce que je ne comprends pas, c'est qu'un espace est discret à partir du moment ou on le muni de la topologie discrète. Donc de ce point de vue, l'exercice devient trivial si je muni cet espace de la topologie discrète. Mais la topologie de cet ensemble (triadique de Cantor), est celle associée à la distance usuelle sur IR (du moins c'est celle que j'utilise pour le travail).
Dans ces conditions, l'énoncé doit surement signifier autre chose.
Peut-être qu'un énoncé équivalent serait : est-ce que les singletons de cet ensemble sont ouverts pour la topologie usuelle ?
Qu'en pensez-vous ?
Je pense que c'est ça mais c'est pas très clair.
D'autant que plus loin dans le travail, une autre question est : "montrer qu'aucun point de C n 'est un point isolé (cad qu'aucun singleton de C n'est un ouvert de C).".
La première question est donc ambigüe...
Je vais scanner l'énoncé du travail, ça sera plus facile. Je fais ça dans quelques minutes.

par **Zapata** » 23 Fév 2008, 17:07

Voilà, en clair ma question est : que demande t-on exactement à la question 3 et quelle est la différence avec la question 6 ?
Merci

par **kazeriahm** » 23 Fév 2008, 17:35

un sous ensemble F d'un espace topologique E est discret dans E si tous les singletons de F sont des ouverts de E non ? c'est à dire si F n'a pas que des points isolés

c'est ce qu'on te demande dans la 3), parcontre dans la 6) on te demande de montrer qu'aucun point de C n'est isolé

enfin je pense lol

par **tito** » 23 Fév 2008, 17:43

bonjour, la propriété qu'il faut démontrer à la question 6) est beaucoup plus forte que la question 2) en effet pour la question 2) on demande si C est discret (ce qui n'est pas le cas) , il suffit donc de montrer qu'il existe un point qui n'est pas isolé tandis que à la question 6) on nous demande de montrer qu'aucun points n'est isolés ! (ce qui est quand méme impressionant quand on y pense :happy2: un ensemble tel que card R = card C et mesure(C)=0 ça court pas les rues !)

par **Joker62** » 23 Fév 2008, 17:45

Chuttttttttt tito
Fallait pas l'dire qu'il était pas dénombrable !!! :D
C'est la question 5 :)

par **tito** » 23 Fév 2008, 17:47

:cry: zut désolé!!!!

par **Zapata** » 23 Fév 2008, 17:53

Oué j'ai compris merci, mais ne vous inquiétez pas, je connaissais les propriétés avant de faire l'exo... C'est vrai qu'il est troublant cet ensemble... Non seulement bien sur sa non-dénombrabilité, mais aussi la "contradiction" apparente entre "seuls les singletons sont connexes" et "aucun point de C n'est isolé"... Chose curieuse quand on y pense. Décidément, les maths... ça claque ! ;-)

par **kazeriahm** » 23 Fév 2008, 17:56

Zapata a écrit:Oué j'ai compris merci, mais ne vous inquiétez pas, je connaissais les propriétés avant de faire l'exo... C'est vrai qu'il est troublant cet ensemble... Non seulement bien sur sa non-dénombrabilité, mais aussi la "contradiction" apparente entre "seuls les singletons sont connexes" et "aucun point de C n'est isolé"... Chose curieuse quand on y pense. Décidément, les maths... ça claque !

Mais ca c'est aussi vrai pour Q non ?

par **tito** » 23 Fév 2008, 18:14

lol c'est vrai que sa marche pour Q j'y avais pas pensé ! (ce qui montre au passage que dénombrable n'implique pas discret comme on pourrait le pensé)

par **Zapata** » 23 Fév 2008, 18:19

Oui ça a l'air :
soit p et q appartenant à Q distincts avec p plus grand que q, comme ouverts disjoints, il suffit de prendre comme extrémité entre les deux (p+q)/2 non compris (]a,(p+q)/2[ et ](p+q)/2,b[),
comme c'est valable pour tout p,q aussi proches soient-ils, les seuls parties connexes de Q sont les singletons.

Et il est clair que pour tout p appartenant à Q quelque soit epsilon(=E), la boule de centre p et rayon E contient au moins un rationnel (et même une infinité).

Est-ce correct comme argument ?

Merci kazeriahm de me l'avoir fait remarqué, je ne le savais pas et sans toi je passais à coté !
Décidément, les maths ça reclaque...! :we:

par **Zapata** » 23 Fév 2008, 18:22

tito a écrit:lol c'est vrai que sa marche pour Q j'y avais pas pensé ! (ce qui montre au passage que dénombrable n'implique pas discret comme on pourrait le pensé)

Ben oui c'est fou ! car quand c'est dénombrable, on se dit qu'il y a moyen de les "séparer" vu que c'est un peu ça qui fait que IR n'est pas dénombrable, c'est que tout est tellement collé qu'on peut pas mettre "d'étiquettes" sur les différents nombres.
Allez, encore de quoi méditer cette nuit, merci les amis !

par **kazeriahm** » 23 Fév 2008, 19:32

oui et pour le peu que j'en connais la théorie des ensembles qui s'intéresse justement à ces différents ordres de grandeurs entre les espaces est très intéressante et surprenante, on trouve de bon polycopiés sur internet

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