Espace contractile

[Nightmare]

Salut !

Je viens de lire dans mon bouquin la définition d'espace topologique contractile (Id est homotope à une application constante).

Après quelques dessins, j'ai du mal à m'imaginer dans le plan un sous-espace connexe, simplement connexe et non contractile...

Quelqu'un en voit-il un?

[Ben314]

Temp que tu reste en "dimension 2", tu vas avoir du mal à faire la différence : tout ouvert simplement connexe (donc connexe avec la déf usuelle) est homéomorphe à un disque ouvert.
J'ai pas réfléchi si on peut trouver des parties "toutes pourries" qui constituerais des contre exemple.

Si tu veut "comprendre" la notion, il vaut mieux se placer en dim au moins 3 : dans ce cas, tu peut avoir deux types de "trous" dans une partie de R^3 :
- Des "trous" type droite (entière) ou cercle qui font que certains lacets ne sont plus homotopes à un lacet constant : c'est ce que repère le Pi1 d'un espace topo et c'est cela qui est interdit dans un ensemble simplement connexe
- Des "trous" type point ou segment ou boule qui n'empèchent pas les lacets de se contracter en un point, mais qui empèchent les "sphères" de se contracter en un point : ça, c'est repéré par ce que l'on appelle le Pi2 (définition proche du Pi1, mais avec [0,1]^2 comme ensemble de départ à la place de [0,1]

Enfin, un ensemble contractile, naïvement, ça veut dire qu'il y a pas de trous d'aucune sorte.
Donc, si tu veut un ensemble simplement connexe non contractile, le plus simple c'est R^3 privé d'un point (ou, ce qui revient au même, une sphère).

P.S. Tient, si, en réfléchissant un peu, je me demande si le "cercle polonais" (ou un truc du genre) ne représente pas un contre exemple :
Tu prend la partie de R² qui est la réunion de :
1) Le graphe de x->sin(1/x) pour x dans ]0,1/pi[
2) Le segment de (0,-1) à (0,1)
3) un bout de courbe qui relie le graphe et le segment en passant "par dessous"
Cet espace est bien simplement connexe, mais je ne pense pas qu'il soit contractile.

[Nightmare]

Salut Ben :happy3:

Merci pour l'explication, c'est bien ça que j'avais en tête (heureux donc de constater que j'ai pour une fois plutôt bien compris quelque chose !!)

Pour ton contre exemple, je pense qu'il marche en effet, et sauf erreur il a aussi le bon goût d'être compact !

[Nightmare]

Enfin, un ensemble contractile, naïvement, ça veut dire qu'il y a pas de trous d'aucune sorte.
Donc, si tu veut un ensemble simplement connexe non contractile, le plus simple c'est R^3 privé d'un point ou d'une sphère.

La sphère elle même n'est-elle pas non contractile? (Et en plus connexe et simplement connexe, c'est donc un bon contre exemple dans l'espace)

Edit : Réponse à moi même :