équivalent suite

[tize]

Bonjour à tous,

voilà je me suis posé un petit problème, comme ça, et pour l'instant je sèche un peu...avant tout je tiens à dire que je ne sais pas si c'est un problème classique ni même si il y a une solution...
Je pose (sinon c'est pas intéressant...) et . Il est très facile de montrer que la suite tend vers ...

J'ai alors essayé de trouver un équivalent avec la méthode "Césaro", je me suis dit puisque l'écart entre et tend vers l'infini je vais essayer d'amoindrir cet écart en trouvant une fonction telle que ait une limite fini et non nul...

j'ai essayé d'amoindrir l'écart avec avec une fonction avec , la limite (sauf erreur de ma part) est nulle à chaque fois... j'ai essayé avec d'autres fonctions qui amoindriraient moins que celles-ci mais plus de sans succès...
Avez-vous déjà eu à faire à ceci ? Auriez-vous une idée à me proposer s'il vous plait ?
Merci

[alben]

Bonsoir
De manière très heuristique :

soit en passant en différentiel :

ou encore un peu abusivement
et finalement où Li est la fonction "logarithme intégral" et sa réciproque qui est bien définie pour tout n.
A suivre

[yos]

Quand tu primitive , tu obtiens nln(n) qui me semble un bon candidat.

[yos]

Ah non j'ai mal vu.

[tize]

Bravo Alben et merci beaucoup !
Je ne connaissais pas la fonction logarithme intégrale alors j'ai regardé sur la wikipédia et j'ai vu que c'est un , j'ai alors essayé avec dans mon premier poste, voilà ce que cela donne (dites moi si vous pensez que c'est faux...) :







En appliquant Césaro, on trouve alors
et donc d'ou serait équivalente en l'infini à , je ne sais pas si on peut l'écrire autrement...
Encore merci, n'hésitez pas à me dire si quelque chose ne vous semble pas correct dans cette démonstration...