Equivalence et signe constant

[superkader5]

Bonsoir, je voulais savoir un petit détail sur les séries, est ce que si une suite (Un) est équivalente à une suite (Vn) de signe constant alors (Un) est forcément de signe constant? Merci pour votre aide.

[DamX]

Bonsoir, je voulais savoir un petit détail sur les séries, est ce que si une suite (Un) est équivalente à une suite (Vn) de signe constant alors (Un) est forcément de signe constant? Merci pour votre aide.

Bonsoir,

non, tout ce qu'on peut dire, si Un est > 0 (strictement) pour tout n ( ou 0. C'est à dire qu'il existe N0 tel que pour tout n>N0, Vn > 0.

Mais par contre ce n'est pas vrai pour les "petits" n. Contre-exemples :

Un = 1 pour tout n, de signe constant
V0=-1 et Vn =1 pour tout n>0

Autre contre-exemple:
Un = n^2 +1
Vn = n^2 - 10n

Damien

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir, je voulais savoir un petit détail sur les séries, est ce que si une suite (Un) est équivalente à une suite (Vn) de signe constant alors (Un) est forcément de signe constant? Merci pour votre aide.

T'as essayé de trouver un contre-exemple ou d'effectuer une démonstration ?

[capitaine nuggets]

Bonsoir, je voulais savoir un petit détail sur les séries, est ce que si une suite (Un) est équivalente à une suite (Vn) de signe constant alors (Un) est forcément de signe constant? Merci pour votre aide.

Ce qu'il faut avoir en tête, c'est que la notion d'équivalence pour des suites carctérise leur comportement à partir d'un certain rang.
Avant ce rang, il peux se passer n'importe quoi !
Par exemple, (C'est très violent : trace la courbe, tu verras).
équivaut à qui est de signe constant et pourtant, pour les premier premiers termes, on oscille entre positif et négatif !
Ce n'est qu'à partir du rang que u_n garde un signe constant et se comporte comme

:+++:

[superkader5]

Ah oui, en effet.. Mais je ne comprend pas alors, si une suite (Un) est équivalente , par exemple à 1/n^2, je ne peux pas utiliser le théorème de comparaison des suites (qui me permet d'en déduire que la série des Un converge) puisque je n'ai aucun renseignement sur le signe de ma suite (Un)?

[Matt_01]

Et bien si vu que, pour tout ce qui concerne les convergences, seul le comportement à l'infini est intéressant.
Ici le fait qu'elle soit de signe constant à partir d'un certain rang suffit (on sépare la série par rapport au rang du changement de signe, on obtient une constante + une série à termes de signe constant).

[capitaine nuggets]

Ah oui, en effet.. Mais je ne comprend pas alors, si une suite (Un) est équivalente , par exemple à 1/n^2, je ne peux pas utiliser le théorème de comparaison des suites (qui me permet d'en déduire que la série des Un converge) puisque je n'ai aucun renseignement sur le signe de ma suite (Un)?

Relis ce qui a été dit :

Ce qu'il faut avoir en tête, c'est que la notion d'équivalence pour des suites carctérise leur comportement à partir d'un certain rang.
Avant ce rang, il peux se passer n'importe quoi !

Et bien si vu que, pour tout ce qui concerne les convergences, seul le comportement à l'infini est intéressant.
Ici le fait qu'elle soit de signe constant à partir d'un certain rang suffit (on sépare la série par rapport au rang du changement de signe, on obtient une constante + une série à termes de signe constant).

En somme, la nature d'une suite ne dépend pas d'un nombre fini de termes.