équipartion et valeur d'adhérence

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les suites équiréparties sur [0,1], mais je bute sur mur. Je suis complétement bloqué, du coup j'aurai vraiment besoin d'un coup de main svp


---

Soit une suite équirépartie de [0,1], c'est-à-dire que pour tout est dense dans [0,1] :


- Soit a0[/tex]

donc la suite ne peut pas être stationnaire à partir du rang N, car si pour tout n>N on avait alors ce qui n'est pas possible

donc il existe n>N tel que et donc

or ,

donc , donc il existe tel que

c'est-à-dire que dans [0,1],

Soit
Soit

selon ce qui précède, est dense dans [0,1], donc il existe une suite de qui tend vers , donc pour tout il existe tel que , puis en utilisant le définition de la limite pour u, on dispose d'un m>0 en particulier tel que

[DamX]

Bonsoir,

En fait si on note E = {a_n, n dans N}, la propriété d'equirepartition implique que pour tout a,b dans [0,1], card(E inter [a,b]) est infini.

Et ça ça suffit pour montrer le résultat :

Soit x dans [0,1], on construit par récurrence une suite d'indices phi(n) comme suit :
phi(1) = 1 (ça n'a pas d'importance)
phi(n) : on considère l'intervalle [x-1/n,x+1/n]. D'après le préliminaire on a une infinité de valeur de (a_n) qui sont dans cet intervalle, donc a fortiori on a un k>phi(n-1) tel que a_k est dans cet intervalle. On prend alors phi(n)=k.

En résumé, on a phi croissante donc a_phi(n) est bien une sous suite qui vérifie x-1/n <= a_phi(n) <= x+1/n et qui converge donc vers x.

Damien