Equations trigonométriques

[Chiara263]

Bonjour à tous. Comme il est dit dans l'intitulé, j'ai un petit soucis avec des équations trigonométriques ...

J'aimerais juste savoir si je suis sur la bonne piste si, pour résoudre cos^3(x) + sin^3(x) = 1, je passe sous une fonction de la forme f(x) = cos²(x)(cos(x) - 1) + sin²(x)(sin(x) - 1) que j'étudie ensuite sur [0;2pi] (car périodique et ni paire, ni impaire)

Autre chose, je bloque sur l'équation
cos(3x) + sin(3x) = 1/rc(2) (rc = racine carré)
J'ai dit que 1/rc(2) = rc(2)/2
Or que rc(2)/2 = cos(pi/4) = sin(pi/4)
D'où cos(3x) + sin(3x) = cos(pi/4)
ou cos(3x) + sin(3x) = sin(pi/4)

Merci de votre aide

[math rayon]

slt, peut etre j'essayrai de la resoudre mais en attendant regarde plutot les reponses des questions situées avant cette question peut etre il sont pour quelque chose :zen: bye

[abcd22]

Bonjour,

J'aimerais juste savoir si je suis sur la bonne piste si, pour résoudre cos^3(x) + sin^3(x) = 1, je passe sous une fonction de la forme f(x) = cos²(x)(cos(x) - 1) + sin²(x)(sin(x) - 1) que j'étudie ensuite sur [0;2pi] (car périodique et ni paire, ni impaire)

Ça peut se résoudre en utilisant juste quelques inégalités : on sait que pour tout x, cos²x + sin²x = 1, et si 0 < a < 1, a³ < a²...

Autre chose, je bloque sur l'équation
cos(3x) + sin(3x) = 1/rc(2) (rc = racine carré)

La technique générale avec ce genre d'équations, c'est de mettre un nombre en facteur pour se ramener à une expression de la forme cos a cos b - sin a sin b = cos(a + b) (ou sin a cos b + cos a sin b = sin(a + b), au choix). Ici on écrit .

[Chiara263]

Merci !

En effet, ainsi ça donne
1/rc(2) cos(3x) + 1/rc(2) sin(3x) = 1/2
sin(pi/4) cos(3x) + cos(pi/4) sin(3x) = 1/2
sin (pi/4 + 3x) = 1/2 = sin (pi/6)
d'où pi/4 + 3x = pi/6 + 2kpi
pi/4 + 3x = pi - pi/6 + 2kpi
soit x = -pi/36 + 2/3kpi
x = 7pi/36 + 2/3kpi

Mais pour l'autre je ne vois pas, car en effet, on pourrait dire a^3 < a²
Mais je pensais utiliser la bijection pour celle ci. C'est peut être pas la méthode attendue, mais je ne vois pas vraiment comment utiliser l'autre.

En tout cas merci :)

[abcd22]

Si cos x et sin x sont différents de 1 et -1, on peut montrer facilement que |cos³x + sin³ x| < 1, donc x n'est pas solution. Il ne reste que les nombres qui ont 1 ou -1 comme sinus ou cosinus à étudier, ça ne fait pas beaucoup de cas.