équations non linéaires

[marawita1]

Bonsoir,
J'ai fait des exercices (avec correction) sur les équations différentielles. J'ai quelques points que je n'ai pas compris dans la correction de ces exemples suivants:
1) y'(T) sin(y(t)) = -1,
dans la correction, l'auteur dit que si y(t)= k , alors l'équation ne peut pas être satisfaite en cet t, donc avec avec y solution de cette équation sur un intervalle I.

Je pense que y(t) doit être différente de n'importe quelle constante, car si y(t)= c, pour tout t alors c'est clair l'équation n'est pas satisfaite en ce point.

Non?

2) t y'(t) - (y^2(t) + 1) = 0
Soit y une solution sur I. C'est clair que I ne contient pas 0, car en ce point l'équation ne peut pas être satisfaite
Ma question: si je m'intéresse à des solutions complexes que dois je faire dans ce cas?

Merci d'avance.

[BiancoAngelo]

1) y'(T) sin(y(t)) = -1,
dans la correction, l'auteur dit que si y(t)= k , alors l'équation ne peut pas être satisfaite en cet t, donc avec avec y solution de cette équation sur un intervalle I.

Je pense que y(t) doit être différente de n'importe quelle constante, car si y(t)= c, pour tout t alors c'est clair l'équation n'est pas satisfaite en ce point.

Non?

Bonsoir. Ce n'est pas tout à fait ce qui est écrit.
y(t) ne peut pas valoir k, car sinon le sinus s'annule et donc on sait que ça ne fonctionne pas.
Ne serait-ce que pour un seul t !

Alors que toi, tu dis que si c'est solution, y(t) ne peut être constant... pour tout t ! (où en tout cas au moins sur un intervalle de longueur non nulle pour que la dérivée s'annule).
Tu saisis la nuance ?

[BiancoAngelo]

2) t y'(t) - (y^2(t) + 1) = 0
Soit y une solution sur I. C'est clair que I ne contient pas 0, car en ce point l'équation ne peut pas être satisfaite
Ma question: si je m'intéresse à des solutions complexes que dois je faire dans ce cas?

Par solution complexe, j'imagine que tu entends fonction de R à valeurs dans C.

Si c'est le cas, tu peux toujours poser y(t) = a(t) + i b(t) avec a et b partie réelle et imaginaire.

Tu remplaces dans l'équation différentielle et tu as donc un système.
J'imagine qu'en tout cas, je commencerais par là !

[zaidoun]

Bonsoir. Ce n'est pas tout à fait ce qui est écrit.
y(t) ne peut pas valoir k, car sinon le sinus s'annule et donc on sait que ça ne fonctionne pas.
Ne serait-ce que pour un seul t !

Alors que toi, tu dis que si c'est solution, y(t) ne peut être constant... pour tout t ! (où en tout cas au moins sur un intervalle de longueur non nulle pour que la dérivée s'annule).
Tu saisis la nuance ?

Franchement, j'ai pas bien saisie votre remarque.

[BiancoAngelo]

Franchement, j'ai pas bien saisie votre remarque.

C'est le fait de différencier deux choses :
Si on dit que f(x) doit être différente de kPi pour tout x, ça ne veut pas dire que f(x) ne doit pas être une fonction constante égale à kPi.

Donc ce qu'il faut comprendre c'est que si y est solution :
Alors y(t) ne vaut jamais kPi

ET

y n'est pas une fonction constante (sur un intervalle de longueur non nulle).

Ce sont deux choses très différente.

[zaidoun]

Par solution complexe, j'imagine que tu entends fonction de R à valeurs dans C.

Si c'est le cas, tu peux toujours poser y(t) = a(t) + i b(t) avec a et b partie réelle et imaginaire.

Tu remplaces dans l'équation différentielle et tu as donc un système.
J'imagine qu'en tout cas, je commencerais par là !

oui c'est ça et dans ce cas I contient 0 ( on n' a pas un problème avec 0), non?
ici y'(t)= a'(t) + i b'(t), c'est ça?

[marawita1]

Bonsoir. Ce n'est pas tout à fait ce qui est écrit.
y(t) ne peut pas valoir k, car sinon le sinus s'annule et donc on sait que ça ne fonctionne pas.
Ne serait-ce que pour un seul t !

Alors que toi, tu dis que si c'est solution, y(t) ne peut être constant... pour tout t ! (où en tout cas au moins sur un intervalle de longueur non nulle pour que la dérivée s'annule).
Tu saisis la nuance ?

Mais je veux dire que si y(t)= c , alors dans ce cas y'(t)=0 et ça ne fonctionne pas aussi.
ou bien ce cas est impossible à réaliser?

[BiancoAngelo]

oui c'est ça et dans ce cas I contient 0 ( on n' a pas un problème avec 0), non?
ici y'(t)= a'(t) + i b'(t), c'est ça?

Oui.
Pas de problème en 0 a priori...

[marawita1]

Par solution complexe, j'imagine que tu entends fonction de R à valeurs dans C.

Si c'est le cas, tu peux toujours poser y(t) = a(t) + i b(t) avec a et b partie réelle et imaginaire.

Tu remplaces dans l'équation différentielle et tu as donc un système.
J'imagine qu'en tout cas, je commencerais par là !

En suivant votre méthode, je trouve les deux equations suivantes:
t a'(t) - a^2(t) + b^2(t) = 1
et
t b'(t) - 2 a(t) b(t)= 0

et franchement je n'arrive pas à déterminer a(t) et b(t).

Pouvez vous m'aider ?

[BiancoAngelo]

Mais je veux dire que si y(t)= c , alors dans ce cas y'(t)=0 et ça ne fonctionne pas aussi.
ou bien ce cas est impossible à réaliser?

C'est que tu n'as pas compris ma remarque.

On nous dit que notre fonction solution ne doit pas valoir kPi.

Donc ça veut dire qu'elle peut être toutes les fonctions du monde, mais pas toutes celles qui pour un t0 donné, on aurait f(t0) = kPi.

On ne parle pas de fonction constante !

Dire que y(t) = c n'a pas de sens.
Ce que tu veux dire, c'est que si y est la fonction constante y : , alors y'=0 et donc y n'est pas solution.

C'est tout à fait juste, mais n'a rien à voir avec la remarque du kPi.

Encore un exemple pour illustrer.

Admettons qu'on trouve la fonction y(t) = t comme solution.

Ben ce n'est pas possible sur tout R, vu qu'en t = Pi par exemple, sin(y(Pi)) = sin(Pi) = 0 et ça ne fonctionne pas.

Pourtant la fonction y(t)=t n'a rien d'une fonction constante...

Tu comprends mieux ?

[chan79]

salut
on peut séparer les variables sin(y) dy =-1 dt

et on intègre

[marawita1]

C'est que tu n'as pas compris ma remarque.

On nous dit que notre fonction solution ne doit pas valoir kPi.

Donc ça veut dire qu'elle peut être toutes les fonctions du monde, mais pas toutes celles qui pour un t0 donné, on aurait f(t0) = kPi.

On ne parle pas de fonction constante !

Dire que y(t) = c n'a pas de sens.
Ce que tu veux dire, c'est que si y est la fonction constante y : , alors y'=0 et donc y n'est pas solution.

C'est tout à fait juste, mais n'a rien à voir avec la remarque du kPi.

Encore un exemple pour illustrer.

Admettons qu'on trouve la fonction y(t) = t comme solution.

Ben ce n'est pas possible sur tout R, vu qu'en t = Pi par exemple, sin(y(Pi)) = sin(Pi) = 0 et ça ne fonctionne pas.

Pourtant la fonction y(t)=t n'a rien d'une fonction constante...

Tu comprends mieux ?

J'ai bien compris votre remarque.Maintenant on oublit kPi.
Je veux dire si y est solution de notre équation, alors y ne peut pas etre constante, car comme j'ai ça ne fonctionne pas.
C'est vrai?
si c'est vrai, donc dans la correction on doit l'ajouter ou c'est inutile ou que ce qu'on doit dire?

[chan79]

on peut séparer les variables sin(y) dy =-1 dt

et on intègre

cos(y)=t+k

pour chaque valeur de k

y=arccos(t+k)
avec
-1<t+k<1
soit
-1-k<t<1-k

on ne prend pas les bornes sinon, sin(y) serait nul
car