Système d'équations non linéaires

[le fouineur]

bonjour à tous,

Je souhaiterai vous soumettre un problème qui me tient en échec depuis
maintenant trois jours.Il s' agit de la résolution d'un système non linéaire de 6 équations à 6 inconnues.Ces 6 équations sont utilisées pour calculer et justifier les poids (coefficients de pondération) et les valeurs des xi pour la
formule de gauss-Legendre à trois points.Ma modeste calculatrice, une TI 89
en l' occurence a calculé les valeurs exactes des poids et des xi en seulement
50 secondes mais je n'ai pas trouvé de moyen qui permette de démontrer ces
résultats à la main.Ces équations sont les suivantes:

w1+w2+w3=2
w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
w1*(x1^2)+w2*(x2^2)+w3*(x3^2)=2/3
w1*(x1^3)+w2*(x2^3)+w3*(x3^3)=0
w1*(x1^4)+w2*(x2^4)+w3*(x3^4)=2/5
w1*(x1^5)+w2*(x2^5)+w3*(x3^5)=0

Si quelqu'un entrevoit une méthode d' attaque qui permette de résoure ce
système qu' ilme fasse signe.

Cordialement le fouineur

[serge75]

j'ai pas trop le courage de faire les calculs et de vérifier si mon idée marche, mais juste une piste :
considère le système formé des trois premières équation, en considérant tes w_i comme inconnue et les x_i comme paramètre. Il s'agit d'un système linéaire de 3 eq à 3 inconnues, qui doit se laisser assez facilement résoudre,d 'autant plus que son déterminant est un Vandermonde.
De là tu as les w_i en fct des x_i, et tu essaies (ce qui risque d'être pas trés commode) de réintégrer ça dans les trois équations restantes, quitte là à passer par une machine pour finir le boulot.

[le fouineur]

Merci serge75 pour ta réponse,

Malheureusement je ne connais pas les systèmes de Vandermonde.Toutefois
sur un autre forum,un internaute m'a suggéré une méthode qui permet de
déduire la valeur de x2:c'est 0 en l' occurence.On est donc ramené à la ésolution d' un système de 4 équations à 4 inconnues (car w2 qui est en facteur avec x2 disparait du mème coup dans 5 des équations).As-tu une
autre idée maintenant que le problème est devenu plus facile?

A plus.... le fouineur

[serge75]

Peux-tu me dire d'où provient ton système? Sa provenance peut éventuellement nous donner une idée de résolution.

[le fouineur]

Bonsoir Serge75,

Je te remercie pour ton intervention mais mon problème a trouvé solution(elle
beaucoup plus simple que ce à quoi je m' attendai).Ce système d'équations
était issu de formules pour le calcul des poids (cofficients de pondération) et
des Xi provenant de la méthode de Gauss-Legendre à trois points:il y a donc
3 Xi et 3 wi à déterminer.

cordialement le fouineur

[serge75]

Peux-tu préciser ta réponse, histoire qu'on en profite tous ?
Merci d'avance.
Serge

[olivthill]

:id: Je remarque que pour les puissance impaires, les équations ressemblent à celles d'un barycentre de trois points
et aussi que les équations peuvent s'écrire :
w1*(x1^0)+w2*(x2^0)+w3*(x3^0)=2/1
w1*(x1^1)+w2*(x2^1)+w3*(x3^1)=0
w1*(x1^2)+w2*(x2^2)+w3*(x3^2)=2/3
w1*(x1^3)+w2*(x2^3)+w3*(x3^3)=0
w1*(x1^4)+w2*(x2^4)+w3*(x3^4)=2/5
w1*(x1^5)+w2*(x2^5)+w3*(x3^5)=0
avec le terme de droite formant la suite
(1+(-1^n))/(n+1)
mais je ne vais pas plus loin. :hein:

[le fouineur]

Bonjour Serge75,

Je vais essayer de résumer la méthode de résolution:

1)Il faut éliminer w1 et w3 entre les trois premières équations égales à 0 soit:

a)w1*x1+w2*x2+w3*x3=0

b)w1*x1^3+w2*x2^3+w3*x3^3=0

c)w1*x1^5+w2*x2^5+w3*x3^5=0

On obtient successivement:

d=b-(a*x1^2)=(w2*x2^3)-(w2*x1^2*x2)+(w3*x^3)-(w3*x1^2*x3)

e=c-(b*x1^2)=(w2*x2^5)-(w2*x1^2*x2^3)+(w3*x3^5)-(w3*x1^2*x3^3)

On calcule pour finir:

f=e-(d*x3^2)=(w2*x2^5)-(w2*x2^3*x3^2)-(w2*x1^2*x2^3)
+(w2*x1^2*x2*x3^2),les termes en w3 ont tous dégagé

Il suffit de factoriser f en mettant en facteur w2 et x2,il vient:

f=w2*x2*[x2^4-(x2^2*x3^2)-(x2^2*x1^2)+(x1^2*x3^2)]=0
=w2*x2*[(x2^2*x2^2)-(x2^2*x1^2)-(x2^2*x3^2)+(x1^2*x3^2)]=0
=w2*x2*[x2^2*(x2^2-x1^2)+x3^2*(x1^2-x2^2)]=0
=w2*x2*[x2^2*(x2^2-x1^2)-x3^2*(x2^2-x1^2)]=0
=w2*x2*[x2^2-x1^2]*[x2^2-x3^2]=0

Comme w2 est supposé different de 0 et que x1 et x3 sont différents de x2 et
de -x2 car il faut trois points distincts,cela implique que x2=0
Les équations se simplifient alors par:x2*w2=0

Après nouvelle élimination on obtient enfin:

x1=Sqr(3/5) x2=0 x3=-Sqr(3/5)

Et les poids sont obtenus par remplacement des valeurs de x1,x2 et x3 dans les équations initiales 1,2 et 3,on trouve:

w1=w3=5/9 w2=8/9

Bon je vous laisse faire les calculs pour vérifier ces résultats....

Cordialement le fouineur