Equations non linéaires à 3 inconnues

[fl2000]

Bonjour,
Je cherche un moyen pour résoudre ce système d'équations à 3 inconnues:

1200cos t1 + 625cos(t1+t2)=365,78
1200sin t1 + 625sin(t1+t2)=1090
t1+t2+t3=360°

Merci.

Cordialement.

[nuage]

Salut,
une possibilité :

• exprimer cos(t1+t2) et sin(t1+t2) en fonction de cos(t1) et sin(t1)
• écrire que cos²(t1+t2) + sin²(t1+t2)=1
• en déduire la valeur de t1
• etc..

[john32]

Un moyen analytique ou numérique ?

[fl2000]

Bonjour,
Si elle existe, je suis à la recherche d'une méthode analytique.

Cdt.

[nuage]

La méthode que je t'ai indiqué est "analytique" :
En posant A=1200 ; B=625 ; C=365,78 ; D=1090
on a


puis, classiquement, on divise par pour avoir une équation du type

[fl2000]

Bonjour,

Pourriez-vous développer votre réponse ?

Cdt.

[nuage]

On a le système :



On en déduit :





d'où

rem : je viens de voir que je me suis trompé dans mon post précédent, je vais le corriger.

Ensuite on pose


Pour la suite je pense que tu sais faire.

[fl2000]

Je ne vois pas comment poursuivre le développement.

Pourriez-vous continuer ?

Cdt.

[nuage]

Donc

On remplace par les valeurs numériques
et on trouve 2 valeurs possibles pour Faux : Faux ! (rappel )

Après je laisse à d'autres le soin de continuer.

[modification]
Ce que je peux écrire comme bêtises m'étonne toujours.
Bien entendu

[fl2000]

Bonjour,
Sauf erreur, j'obtiens les résultats suivants:

Phi=71,44938124°
t1=102,2054352° ou 220,6933273°.

Merci pour votre aide.

Cdt.

[nuage]

Salut,
je m'excuse, mais je suis actuellement un peu malade, et je n'ai vraiment pas envie de faire du calcul numérique.
Mais j'ai une mauvaise impression sur les valeurs que tu as trouvées.

Quand je dis je veux dire 180°.

Vérifie tes calculs, et les miens...

Enfin mauvaise impression ne signifie pas que les calculs sont faux.

A+

[fl2000]

Bonjour, effectivement cela ne correspond pas à ce que j'attendais.

Je décompose mes calculs:
E =0,859352383

arcos(E)=30,75°

phi=arctan(D/C)=71,44°

t1-phi=arcos(E)=30,75° ->t1=30,75+phi=30,75+71,44=102,19
ou
t1-phi=pi-arcos(E) ->t1=phi+pi-arcos(E)=71,44+180-30,75=220,68°

J'aurais du trouver t1=30,47° et t2=99,141°.

Quelle est mon erreur ?

Cdt.

[fl2000]

J'ai fait une erreur dans l'énoncé concernant une constante.

La bonne équation est 1200cos(t1) + 625cos(t1+t2)=635,78.
on a donc C=635,78 (et non pas 365,78).

Ce qui donne:
E =0,872280475

arcos(E)=29,27526341°

phi=arctan(D/C)=59,74565458°

t1-phi=arcos(E)=29,27526341°
->t1=29,27526341+phi=29,27526341+59,74565458°=89,02°
ou
t1-phi=pi-arcos(E) ->t1=phi+pi-arcos(E)=59,74565458+180-29,27526341=210,47°

Malheureusement cela ne me permet pas de trouver ce que j'attendais:

J'aurais du trouver t1=30,47° et t2=99,141°.

Cdt. :mur:

[nuage]

Salut, avec un peu de retard.
En faisant le calcul numérique je trouve bien les valeurs que tu donnes comme solutions.
En fait l'erreur vient de moi
Les deux solutions pour sont .
Toutes mes excuses.

[nodgim]

Quelque chose m'intrigue avec le t3 :hum:

[fl2000]

Merci pour votre aide.

Cdt.

[Black Jack]

Autre méthode.

1200cos t1 + 625cos(t1+t2)=365,78
1200sin t1 + 625sin(t1+t2)=1090

(1200cos t1 + 625cos(t1+t2))² =365,78²
(1200sin t1 + 625sin(t1+t2))² =1090²

on développe les carrés et on fait la somme membre à membre des 2 équations en se rappelant que cos²A + sin²A = 1

1200² + 625² + 2*1200*625*(cos t1 * cos(t1+t2) + sin t1 * sin(t1+t2)) = 365,78² + 1090²

1200² + 625² + 2*1200*625*(cos(t1-t1-t2)) = 365,78² + 1090²

1200² + 625² + 2*1200*625*cos(t2) = 365,78² + 1090²

cos(t2) = -0,339153327733

t2 = 109,825298624° (si les angles sont supposés compris dans [0 ; 360] °)

Essaie de continuer pour trouver les 2 autres angles...

Sauf erreur, tu devrais arriver à t1 = 40,69° et t3 = 150,52°

Il te reste à le montrer...

:zen:

Avec la modif annoncée dans ton message précédent, je trouve aussi t2 = 99,141... °

[jomanaomar]

Bonjour,
une possibilité :
t1 + t2 = 360° -t3
cos(t1 + t2) = cos t3 et sin(t1 + t2) = -sin t3
on a :
1200 cos t1 + 625 cos t3 = 365,78
1200 sin t1 - 625 sin t3 = 1090
puis complète..