Equations différentielles

[Fedd]

Bonsoir,
J'ai un petit problème avec cet exercice, alors s'il y a quelqu'un qui pourrait me monter le chemin ça serait bien!

voila K=R ou C. On Désigne par M(n)(K) l'espace vectoriel des matrices carrés de type n x n à coeff. dans K. soit J un intervalle de R et soit

A : R ------->M(n)(K)
t |------> A(t)
une application cont.

On considère les trois équations différentielles suivantes :

Y'(t)=A(t)Y(t) (1) Z'(t)= -Z(t)A(t) (2) et W'(t)=A(t)W(t)-W(t)A(t) (3)

où Y,Z et W sont des fonctions dans M(n)(K)

1-Montrer que chacune de ces équations admet une solution unique prenant une valeur donnée en un point t0 appartenant à J et que toutes ces solutions soit definies sur J.

2- On designe par Par Y une sol. de (1) et par Z une sol de (2) telles que pour un point t0 de J on ait Y(t0)Z(t0)=In la matrice identite

montrer pour que tout t dans J Y(t)Z(t)=In


Voila ce que j'ai réussi à faire :

1- pour l'équation (1)
d'après Cauchy j'ai l'existence et l'unicité de la solution!
pour la (2) je bloque

et pour la (3) en supposant que j'ai réussi a faire la (2)
W n'est autre que Y+Z

et c'est tout

2- j'ai remarqué que Y(t)Z(t) vérifiais la (3) et c'est tout !!


Merci pour votre aide!!

[kazeriahm]

bah la 2 et la 3 c'est encore du Cauchy Lispchitz

pour la 3), la matrice identité est l'unique solution du probleme de Cauchy associé à la condition initiale W(t0)=In.

Or si Y est solution de 1 et Z solution de 2, c'est bien YZ qui est solution de 3 (et non pas Y+Z). Je te laisse conclure