Equations différentielles

par **Sylar** » 17 Juin 2007, 22:03

Bonsoir, je bloque un peu sur cet exercice:
Soit A la matrice:
A=
0 -1
1 0

1/Polynome caractéristique:je trouve : Xi(A)=x^2+1
2/Pour t réel ,calculer: exp(t.A) :la je bloque.........
3/En déduire la solution du système différentiel :
x'(t)=-y(t)
y'(t)=x(t)
avec c.i: x(0)=y(0)=1
La j'ai aucune idée

Merci d'avance.....

par **quinto** » 17 Juin 2007, 22:23

Salut,
comment est défini l'exponentielle d'une matrice ?

Sinon, tu peux diagonaliser ta matrice, ce qui est plus facile pour en calculer l'exponentielle.

par **Sylar** » 17 Juin 2007, 22:50

En fait je sais pas vraiment ce que c'est l'exponentielle d'une matrice.......
Je pense savoir si elle est diagonale ca me donne une matrice avec exp des valeurs propres sur la diagonale je pense....

par **fahr451** » 17 Juin 2007, 23:02

bonsoir

ou poser z = x +iy si c'est juste pour avoir la solution du système différentiel

par **Sylar** » 17 Juin 2007, 23:06

Oui merci mais on m dit qu'apres avoir calculer exp(t.A),en déduire la solution du systeme et la je vois pas le rapport.....

par **fahr451** » 17 Juin 2007, 23:07

j'interviendrai sur ce point seulement si quinto qui a commencé à te répondre n'est plus la

par **fahr451** » 17 Juin 2007, 23:08

ce qui est le cas

en posant X = (x,y) en colonne

le système est X ' = A X

dont la solution est

X = exp(tA) X0

avec X0 = (1,1) en colonne

par **Sylar** » 17 Juin 2007, 23:14

Ah d'accord merci beaucoup.

par **quinto** » 17 Juin 2007, 23:53

fahr451 a écrit:j'interviendrai sur ce point seulement si quinto qui a commencé à te répondre n'est plus la

Voyons, personne n'a l'exclusivité, chacun peut apporter sa pierre, je t'en prie, ne te gène pas pour moi.

Et puis plusieurs confrontations d'idées ou plusieurs méthodes ne peuvent qu'ête bénéfiques (tant qu'elles ne se contredisent pas).

A+

par **fahr451** » 17 Juin 2007, 23:57

en général quand quelqu 'un a commencé à aider il est normal de le laisser

finir (c'est ce que je pense mais tu n étais plus là)

par **quinto** » 18 Juin 2007, 00:13

fahr451 a écrit:en général quand quelqu 'un a commencé à aider il est normal de le laisser

finir (c'est ce que je pense mais tu n étais plus là)

Moi ça ne me dérange pas, ne t'en fais pas pour ça

a+

par **jeje56** » 18 Juin 2007, 09:51

Où en es-tu Sylar? As-tu calculé exp(tA)?

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 11:20

Oui ca me donne ,après des calculs fastidieux:
exp(t.A)=P.exp(t.D).P^(-1)
Or ,les valeurs propres sont i et -i ,je trouve comme matrice de passage:
P=
i -i
1 1
et :
P^(-1)=
1/(2i) (1/2)

-1/(2i) (1/2)
Ainsi,apres calcul,j'obtiens:
exp(t.A)=
cos(t) -sin(t)
sin(t) cos(t)
Quelqu'un pourrait t-il confirmer mon calcul?
Merci....

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 11:27

Pour la question 3:
exp(t.A).X(0)=
cos(t)-sin(t)
sin(t)+cos(t)
J'obtiens : x(t)=cos(t)-sin(t)
y(t)=sin(t)+cos(t)
On me demande d'en deduire la solution générale de l'équation différentielle:
y''(t)+y(t)=exp(t) et la je vois pas trop ,j'ai pensé que la solution sans second membre a cette équation est:
y(t)=cos(t)+sin(t) ,mais pour la solution particuliere .........
merci.....

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 11:29

il suffit de vérifier qu 'en effet ça marche

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 11:47

Et pour la solution particulière de l'équation y''(t)+y(t)=exp(t) ?
Je trouve : exp(t)/2

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 11:51

y(t)=1/2*exp(t)

par **Sylar** » 18 Juin 2007, 11:53

Ah ok merci,ca confirme mon résultat....

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