Equations differentielles

[matheux67]

Bonjour, j'ai une équation différentielle à résoudre mais je ne sais pas trop comment m'y prendre. L'équation est:

xy²y'=x²+y³

Je simplifie l'equation en: y'=x/y² + y/x. Mais pour après quelqu'un peut m'aider s'il vous plait? Merci d'avance.

[mathelot]

Je simplifie l'equation en: y'=x/y² + y/x.

bonjour,

le changement de fonction est quasiment imposé ?

on arrive ensuite à une équation dite "à variables séparées"




qui se primitive.

[Black Jack]

Une manière parmi d'autres.

xy²y'=x²+y³

Poser : xy³ = t

y³ + 3xy²y' = t'
3xy²y' = t' - y³
3xy²y' = t' - t/x
xy²y' = t'/3 - t/(3x)

t'/3 - t/(3x) = x² + t/x (si x est différent de 0)

t'/3 - t/(3x) - t/x = x²

t'/3 - t/(3x) - 3t/(3x) = x²

t'/3 - 4t/(3x) = x²

t' - 4t/x = 3x²

Poser : t = uv

u'v + uv' - 4uv/x = 3x²

v(u' - 4u/x) + uv' = 3x²

Trouvons une expression de u tel que u' - 4u/x = 0

u'/u = 4/x
ln|u| = 4.ln|x|
u = x^4

--> x^4.v' = 3x²
v' = 3/x²
v = -3/x + K

t = x^4 * (K - 3/x)
t = K.x^4 - 3x³

y³ = t/x = Kx³ - 3x²

y = [Kx³-3x²]^(1/3)
*****
xy²y'=x²+y³
Si x = 0 --> y = 0

Et donc y = [Kx³-3x²]^(1/3) sur R
Avec K une constante réelle.

:zen:

[mathelot]

bonsoir,

posons








on primitive

[mathelot]

:::::::::::::::::::::::

@Blackjack: comme je ne trouve pas pareil, je pense
que ce que tu as écrit est faux.

1ere question: quand tu pose t=uv, ce n'est pas bijectif,
il y a une indétermination sur u et v ?

[Ben314]

Salut,
Perso, j'aurais posé et l'équation devient (linéaire).

Equation homogène ; Solution particulière (triviale)

Donc et

[Black Jack]

:::::::::::::::::::::::

@Blackjack: comme je ne trouve pas pareil, je pense
que ce que tu as écrit est faux.

1ere question: quand tu pose t=uv, ce n'est pas bijectif,
il y a une indétermination sur u et v ?

Et bien, comme tu ne trouves pas comme moi, au moins un de nous deux s'est planté...
Et ce n'est pas moi.

:ptdr:

En tous cas, Ben314 arrive aux mêmes solutions que les miennes.

:zen:

[Black Jack]

La réponse de Mathelot n'est pas complète:

u(x) = [(Kx - 3)/x]^(1/3)

Mais il manque encore y = u.x

et donc y = x.[(Kx - 3)/x]^(1/3)

y = [x³(Kx - 3)/x]^(1/3)

y = [x²(Kx - 3)]^(1/3)

y = (Kx³ - 3x²)^(1/3)

... Et voila les solutions de Mathelot ramenées aux miennes et à celles de Ben314

:zen:

[mathelot]

merci à vous deux.

[matheux67]

Merci à tout le monde, je comprends mieux :)