Equations différentielles

[Kikoo <3 Bieber]

Urgeeeeent !!! Aidé moi svp ceci est a faire pur demain !!!!!!

lol je plaisante ^^


Alors bonjour d'abord, je vous expose mon problème : La résolution d'équa diff, c'est pas mon fort, je sais pas, j'ai du mal à intégrer le truc :/

Bon, un exemple est préférable à tout autre long discours, get ready !

Soit

Je trouve une solution évidente (en ayant été guidé) :

Je résous désormais sur les intervalles et
Soit l'équation que je transforme en
Les solutions de cette équation homogène sont , réel.

Sur l'ensemble des réels positifs non nuls, il existe donc lambda de R tel que et sur R-, il existe mu de R tel que (j'espère ne pas raconter des sottises).

Donc l'ensemble des solutions est non ?

Merci d'avance !

[Skullkid]

Salut,

[quote="Kikoo 0 f(x) = f2(x), ET f est C^1 sur R tout entier, où f1 et f2 sont deux solutions de E0'.

Aussi, quand tu écris "l'ensemble des solutions est ", ça ne veut rien dire. Il faut quantifier tes objets, et faire la différence entre le réel x et la fonction x -> x.

[Kikoo <3 Bieber]

Hello dear Skullkid

Salut,



C'est qu'elle n'était pas évident, alors :p
Pour l'astuce : comme les coefficients et le second membre sont polynomiaux, il paraît naturel de chercher une solution particulière polynomiale. Pour avoir une idée du degré faut regarder un peu les coefficients.

Au premier abord non, ce n'était pas une "solution évidente" bien évidente, mais maintenant je saurai qu'il n'est pas si difficile d'en trouver une !

Bref, tu cherches à résoudre ton équation de départ sur R tout entier. Quand tu divises par x tu perds l'équivalence et tu obtiens une nouvelle équation (disons E0') sur l'union disjointe de deux intervalles, R*+ et R*-. Maintenant que tu as les solutions de cette nouvelle équation, il faut revenir à l'équation de départ en "raccordant" les solutions. Ainsi, une solution f de l'équation E0 est donnée par : pour tout x 0 f(x) = f2(x), ET f est C^1 sur R tout entier, où f1 et f2 sont deux solutions de E0'.

D'accord, donc j'ai sur R+ et sur R- non ?
Le recollement des solutions est sujet de la troisième question, mais je bloque à ce niveau-là :3

Aussi, quand tu écris "l'ensemble des solutions est ", ça ne veut rien dire. Il faut quantifier tes objets, et faire la différence entre le réel x et la fonction x -> x.

Ok ! Mais alors avec des quantificateurs bien placés cela peut-il être juste ?

Merci pour ta réponse !

[Skullkid]

[quote="Kikoo 0, avec a et b réels."

[Luc]

Salut,

psi n'est pas une solution évidente (en tout cas, pas pour moi ^^), disons que c'est une solution particulière. On aurait d'ailleurs pu l'obtenir par la méthode de variation de la constante à partir des solutions de l'équation homogène. Ensuite, l’équation homogène est ce qu'on appelle une équation à variables séparables, ie on peut écrire y'=f(x)g(y), ici sur deux ouverts (ici R+* et R-*) à cause du problème en 0. Ensuite, pour recoller les solutions, je ne penses pas que le caractère C1 en 0 soit suffisant, puisqu'on obtient alors psi'(0)=psi'(0), ce qui est toujours vrai. En revanche, tu peux regarder si psi(x)+Lx^2 est solution de l'équation. En 0, c'est clair puisque -1=-1. En x non nul, c'est vrai aussi puisque on peut regarder l'équation sur R+* (ou sur R-*).

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, pour les recoller il suffit d'imposer le caractère C^1 en 0 de la recollée (puisque si tu as une fonction non C^1 en 0, elle ne saurait satisfaire l'équation E).

Donc là je définis y(0)=0 et c'est bon ?
Je n'ai pas vraiment compris la question : "Vérifier qu'on peut prolonger à R les solutions obtenues en des fonctions dérivables en 0 (de classe C1 donc, comme tu l'as dit) et vérifiant (E) sur R. Y en-a-t'il qui sont de classe C2 parmi elles ?"
En fait, vu que mes solutions sont sommes de fonctions dérivables en 0, je ne vois pas ce qu'il y a à dire de plus...

Oui, mais dans le cas des équa diff on préfère en général ne pas écrire l'ensemble des solutions sous forme purement mathématique, parce qu'écrire des ensembles de fonctions c'est pénible, surtout quand les fonctions sont définies différemment sur plusieurs parties de leur domaine. Ici tu peux très bien écrire, en toutes lettres, "l'ensemble des solutions de (E) sur R* est l'ensemble des fonctions f définies par f(x) = Psi(x)+ax² si x 0, avec a et b réels."

Ok, je vois mieux comment présenter le tout

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

psi n'est pas une solution évidente (en tout cas, pas pour moi ^^), disons que c'est une solution particulière. On aurait d'ailleurs pu l'obtenir par la méthode de variation de la constante à partir des solutions de l'équation homogène. Ensuite, l’équation homogène est ce qu'on appelle une équation à variables séparables, ie on peut écrire y'=f(x)g(y), ici sur deux ouverts (ici R+* et R-*) à cause du problème en 0. Ensuite, pour recoller les solutions, je ne penses pas que le caractère C1 en 0 soit suffisant, puisqu'on obtient alors psi'(0)=psi'(0), ce qui est toujours vrai. En revanche, tu peux regarder si psi(x)+Lx^2 est solution de l'équation. En 0, c'est clair puisque -1=-1. En x non nul, c'est vrai aussi puisque on peut regarder l'équation sur R+* (ou sur R-*).

Salut Luc

On dérive deux fois alors ?
Oui, voilà ce n'est pas une solution évidente mais une solution particulière
Le but ici je crois était de nous faire trouver une solution autrement que par variation de la constante, mais notre prof nous a bien répété que si la sol. particulière n'était pas évidente, alors la variation de la constante fonctionne à tous les coups !

[Luc]

notre prof nous a bien répété que si la sol. particulière n'était pas évidente, alors la variation de la constante fonctionne à tous les coups !

J'ai réalisé ce fait il y a pas longtemps (pourtant j'avais du le voir en prépa, mais ça ne m'avait pas marqué). La méthode de variation de la constante trouve TOUJOURS une solution particulière si l'on sait résoudre l'équation homogène : c'est super puissant comme résultat!

[Skullkid]

Donc là je définis y(0)=0 et c'est bon ?

Plutôt y(0) = 1/2. Mais il faut surtout que tu vérifies que tu peux prolonger de façon C^1 en 0 les solutions que tu as obtenues sur R*. Autrement dit, la fonction y définie sur R* par y(x) = Psi(x) + lambda*x² si x < 0 et y(x) = Psi(x) + mu*x² si x < 0 est-elle prolongeable de façon C^1 (dans ton énoncé ils ont raison de parler uniquement de dérivable, c'est-à-dire D^1, mais pour cette équation-là ça revient au même) à R tout entier ?

Il suffit de regarder les limites en 0 (à gauche et à droite) de y et y'. La limite à gauche est bien égale à la limite à droite, donc toutes les fonctions y définies comme ci-dessus sont solution de E (note que tu obtiens un espace de dimension 2, bien que l'équation ne soit que d'ordre 1). En revanche, parmi toutes ces solutions, beaucoup ne sont pas C² (y est C² si et seulement si lambda = mu).

Autrement dit : l'ensemble des solutions de E est un espace de dimension 2, mais l'ensemble des solutions C² est un espace de dimension 1 (qui se trouve d'ailleurs ne contenir que des fonctions C^infini).

[Kikoo <3 Bieber]

Plutôt y(0) = 1/2. Mais il faut surtout que tu vérifies que tu peux prolonger de façon C^1 en 0 les solutions que tu as obtenues sur R*. Autrement dit, la fonction y définie sur R* par y(x) = Psi(x) + lambda*x² si x < 0 et y(x) = Psi(x) + mu*x² si x < 0 est-elle prolongeable de façon C^1 (dans ton énoncé ils ont raison de parler uniquement de dérivable, c'est-à-dire D^1, mais pour cette équation-là ça revient au même) à R tout entier ?

Il suffit de regarder les limites en 0 (à gauche et à droite) de y et y'. La limite à gauche est bien égale à la limite à droite, donc toutes les fonctions y définies comme ci-dessus sont solution de E (note que tu obtiens un espace de dimension 2, bien que l'équation ne soit que d'ordre 1). En revanche, parmi toutes ces solutions, beaucoup ne sont pas C² (y est C² si et seulement si lambda = mu).

Autrement dit : l'ensemble des solutions de E est un espace de dimension 2, mais l'ensemble des solutions C² est un espace de dimension 1 (qui se trouve d'ailleurs ne contenir que des fonctions C^infini).

Oui oui, y(0)=1/2 en effet J'ai tout compris, sauf la fin !

Quand tu parles d'espace, il s'agit d'espace affine, non (on traite l'ensemble général des solutions sur R ?) ? Espace vectoriel ?
Mon prof nous en avait parlé vite fait mais nous n'avons pas encore vu ces structures.
Je suis néanmoins curieux sur la nature de la dimension de ces espaces ! Que désigne-t-elle ?

[Skullkid]

Oui il s'agit d'espace affine, je préfère laisser ton prof t'enseigner le concept rigoureusement, disons pour l'instant qu'un espace affine c'est un espace vectoriel que tu as translaté (par exemple dans R², une droite qui ne passe pas par (0,0)). La dimension d'un espace affine c'est tout simplement la dimension de l'espace vectoriel associé.

Mais sans parler rigoureusement de dimension, l'idée c'est que tu as deux degrés de liberté (deux paramètres à choisir, lambda et mu) pour choisir une solution de E, mais seulement un degré de liberté pour choisir une solution de E qui soit C² (puisque lambda doit être égal à mu dans ce cas).

[Kikoo <3 Bieber]

Oui il s'agit d'espace affine, je préfère laisser ton prof t'enseigner le concept rigoureusement, disons pour l'instant qu'un espace affine c'est un espace vectoriel que tu as translaté (par exemple dans R², une droite qui ne passe pas par (0,0)). La dimension d'un espace affine c'est tout simplement la dimension de l'espace vectoriel associé.

Mais sans parler rigoureusement de dimension, l'idée c'est que tu as deux degrés de liberté (deux paramètres à choisir, lambda et mu) pour choisir une solution de E, mais seulement un degré de liberté pour choisir une solution de E qui soit C² (puisque lambda doit être égal à mu dans ce cas).

Ah mais en gros je crois que j'arrive à voir ce dont il s'agit. C'est un peu comme un vecteur dans l'espace (la solution de l'équa homogène serait la directrice) et que l'on fait translater (+les solutions particulières) pour obtenir une droite ? J'espère que cette analogie n'est pas si abusive, car elle m'aide à "voir" ce que c'est ^^

Ok pour le reste ! Tu as raison cependant, il ne faut pas que je me penche d'ores et déjà sur des notions qui m'échappent

[Luc]

Ah mais en gros je crois que j'arrive à voir ce dont il s'agit. C'est un peu comme un vecteur dans l'espace (la solution de l'équa homogène serait la directrice) et que l'on fait translater (+les solutions particulières) pour obtenir une droite ? J'espère que cette analogie n'est pas si abusive, car elle m'aide à "voir" ce que c'est ^^

Ok pour le reste ! Tu as raison cependant, il ne faut pas que je me penche d'ores et déjà sur des notions qui m'échappent

En fait, les solutions de l'équation homogène forment plutôt une droite (ou un plan, peu importe) vectorielle, ie "passant par 0", et la solution particulière serait un point de l'espace par lequel passe la droite des solutions.

[Kikoo <3 Bieber]

En fait, les solutions de l'équation homogène forment plutôt une droite (ou un plan, peu importe) vectorielle, ie "passant par 0", et la solution particulière serait un point de l'espace par lequel passe la droite des solutions.

Ah d'accord, mais je crois que je vais m'arrêter sur ce genre de comparaisons, certains puristes me flagelleraient, j'en suis sûr

Edit : Tu fais bien de dire "passant par 0" !! J'avais un instant oublié que x-->0 est toujours solution de n'importe qu'elle équation homogène !

Edit 2 : "N'importe quelle"

[Luc]

[quote="Kikoo 0 est toujours solution de n'importe qu'elle équation homogène ![/quote]

C'est parce qu'un espace vectoriel contient toujours 0.

Mais ce que tu dis est tout à fait formalisable, même au niveau de la sup. C'est bien fait dans le tout-en-un Deschamps que j'avais en sup. Mais tu y verras plus clair quand tu aurais une certaine culture en algèbre linéaire, vers le moi de mars-avril.

[Kikoo <3 Bieber]

C'est parce qu'un espace vectoriel contient toujours 0.

Mais ce que tu dis est tout à fait formalisable, même au niveau de la sup. C'est bien fait dans le tout-en-un Deschamps que j'avais en sup. Mais tu y verras plus clair quand tu aurais une certaine culture en algèbre linéaire, vers le moi de mars-avril.

Vive le mois de mars-avril, ça a l'air cool (il se peut que je ne dise pas la même chose à ce moment-là ^^)

[Luc]

Vive le mois de mars-avril, ça a l'air cool (il se peut que je ne dise pas la même chose à ce moment-là ^^)

Le passage difficile en prépa, où certains arrêtent, c'est le début du deuxième semestre, vers fin janvier début février.

[Kikoo <3 Bieber]

Le passage difficile en prépa, où certains arrêtent, c'est le début du deuxième semestre, vers fin janvier début février.

Faut que je tienne le coup alors (drôle pourtant, deux élèves de MPSI étaient déjà parties au bout de la première semaine...)

[Luc]

Faut que je tienne le coup alors (drôle pourtant, deux élèves de MPSI étaient déjà parties au bout de la première semaine...)

Oui bien sûr la première semaine aussi. Janvier-février ce sont les personnes qui font la prépa en mode "je ne dors pas, je travaille 14h par jour" et qui pètent un cable par manque de sommeil, etc. Personnellement j'ai toujours beaucoup dormi en prépa. Sans rire, c'est une méthode très efficace pour apprendre le cours

[Kikoo <3 Bieber]

Oui bien sûr la première semaine aussi. Janvier-février ce sont les personnes qui font la prépa en mode "je ne dors pas, je travaille 14h par jour" et qui pètent un cable par manque de sommeil, etc. Personnellement j'ai toujours beaucoup dormi en prépa. Sans rire, c'est une méthode très efficace pour apprendre le cours

Et ben moi j'espère tenir avec mon mode "glandage sur maths forum" :ptdr:
Il faudrait que je travaille et que je dorme... Ca va venir ^^ Un jour