Equations differentielles

[majinboo]

Bonjour,
je sollicite votre aide pour résoudre ces 4 exercices car j'ai vraiment du mal à les résoudre.
(En gras l’énoncé et en normal ce que j'ai fais.)


Resoudre les equations differentielles suivantes sur R:

Question 1

{ y'-2y=e^x
{ y(0)=1

donc j'ai appliqué la formule tq: y'-ay=b
f(x)=K e^(ax) - b/a

f(x)=K e^(2x) - (e^x)/-2
=K e^(2x) + (e^x)/2

f(0)=K e^(2*0) + (e^0)/2=1
=K=1

donc f(x)=1e^(2x) + (e^x)/2


Question 2

{ (1+x^2)y' - 2xy = x
{ y(0)=0

j'ai diviser la 1ere ligne par (1+x^2), pour avoir une equation du type y'-ay=b ce qui donne:
y'- (2 * ( 1/(1+x^2) )xy=x/(1+x^2)

f(x)=Ke^(2 * ( 1/(1+x^2) ) - [(x/1+x^2) / (2 * ( 1/(1+x^2) )]

f(0)=K e^2=0
K=e^(-2)

donc f(x)=(e^(-2)) e^(2 * ( 1/(1+x^2) ) - [(x/1+x^2) / (2 * ( 1/(1+x^2) )]


Question 3

{ y"-4y'+3y=0
Je ne n'arrive pas à le résoudre car le y" me bloque et je ne sais pas comment procéder


Question 4

{ y"-4y'+3y=0 (On pourra chercher une solution particulière de cette équation de la forme (ax+b)e^(2x) )
Pareil, je ne n'arrive pas à le résoudre car le y" me bloque et je ne sais pas comment procéder


si vous pouvez me donnez un coup de pouce, je vous en serrai reconnaissant.

cordialement

[kasmath]

À coefficients constants
Elles sont de la forme où a, b et c sont des réels, a non nul.



On cherche des solutions sous forme exponentielle, cest-à-dire telles que . Une telle fonction sera solution de léquation différentielle si et seulement si delta est solution de
:
Cette équation est appelée équation caractéristique de léquation différentielle.

Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant delta.

Si \delta > 0
Léquation possède deux solutions et .

Léquation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions et . On démontre que ces deux solutions famille génératrice|engendrent lensemble des solutions. Cest-à-dire que lensemble des solutions sont les fonctions définies sur R par où et sont deux réels quelconques.

Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction
* cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point , cest-à-dire en précisant les valeurs et de y et y à cet instant. Dans ce cas lexistence et lunicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties.
* pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs et aux instants et . Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce nest pas toujours vrai.

Si delta = 0
Léquation ne possède quune seule solution delta. On démontre alors que lensemble des solutions sont les fonctions f définies sur R par où A et B sont des réels quelconques.

Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f.

Si delta < 0
Léquation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : et conjuguées lune de lautre.

Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur R et à valeurs dans C. Les fonctions et définies par et sont des solutions de léquation dans cet ensemble. On démontre alors que lensemble des fonctions de R dans C solutions de léquation différentielle sont les fonctions définies par où et sont deux complexes quelconques.

Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans R. On note alors . Les fonctions et sécrivent alors
:
: .
On peut alors remarquer que les fonctions et définies par
:
:
sont encore des solutions de léquation différentielles mais à valeurs dans R. On démontre alors quelles engendrent lensemble des solutions à valeurs dans R c’est-à-dire que cet ensemble est formé des fonctions définies sur R par
: où A et B sont deux réels quelconques.

Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : ,q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique).

La détermination de A et B (ou q et r) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

[kasmath]

donc si on applique ici


ton equation carateristique sera




avec et des reels

je te laisse la deuxième

[majinboo]

est ce que mes exercices 1 et 2 sont justes?

est ce que je pourrai avoir un exemple détaillé de votre calcule svp?

[kasmath]

Pour Voir Si Tes Calcule Son Juste Tu Derive Et Tu Remplace
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