Equations différentielles / Problème de Cauchy Lipschitz

[d0n]

Bonjour à toutes et à tous !

Dans un exercice, on considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 suivante :

-u''(x) + V(x)u(x) = f(x) pour x appartenant à [0,1]

où V et f sont deux fonctions de classe infinie, et V vérifie quelquesoit x appartenant à [0,1], V(x) >= V0 >0

Je dois discuter suivant les valeurs de nombres réels (a,b,c) le nombre de solutions de l'équation différentielle vérifiant
u(0) = a u'(0) = b u''(0) = c

Enfin, on me demande si le théorème de Cauchy Lipschitz s'applique à l'équation avec les conditions
u(0) = 0 et u(1) = 0

Pour la première partie de la question, j'ai bêtement remplacé x par 0, et j'ai essayé de voir ce que je pouvais faire de ceci :

-c + V(0)*a = f(0)

Apparement b n'intervient pas dans les conditions, et il y a un problème (ou pas ?) pour a=0.. Il faut aussi que (f(0)+c)/a soit supérieur ou égal à V0, donc que numérateur et dénominateur soient de même signe (notamment). Mais je n'arrive pas à en dire plus à partir de ceci.

Auriez vous une petite indication s'il vous plaît ? Merci !

[d0n]

Bonsoir,
En fait, je n'arrive même pas à comprendre en quoi on peut dire que cela vérifierait le théorème de cauchy, puisqu'il faut une condition du type u(x0) = t0 et u'(x0)=v0 pour que cela soit le cas..
I need help please ! :++:

[busard_des_roseaux]

bonsoir,
la théorie (henri Cartan "calcul différentiel") dit par exemple:
soit


E est un espace de Banach, U un sous-ensemble de .



on considère l'équation différentielle:

si f est localement lipschitzienne par rapport à la variable x (içi, x sera un vecteur de ) alors l'équation (1) admet une unique solution maximale au problème de Cauchy:


on conditionne ton équation:



d'où f est l'application:



f est localement lipschitzienne en (x,y). En effet, si t appartient à
un compact K de , on a la majoration:


conclusion: il y a donc existence et unicité d'une solution maximale au problème de cauchy:
u(0)=a ; u'(0)=b.
Pour l'existence d'une solution, comme il y a une condition supplémentaire,
il suffit de vérifier la compatibilité:
c=u''(0)=av(0)-f(0).
vraie: existence et unicité d'une solution maximale.
fausse: pas de solution.

[d0n]

Ok je vois, je n'avais pas pensé à utiliser le caractère local lipschitzien de la fonction. J'ai compris!
Merci de votre réponse !

[busard_des_roseaux]

V vérifie quelquesoit x appartenant à [0,1], V(x) >= V0 >0

En complément de ce que j'ai raconté, est-ce que cette condition
donne l'existence d'une solution sur [0;1] tout entier ?
peut être as tu la réponse dans ton cours ? a-priori, je n'ai pas d'idées.



cordialement,