Cauchy-Lipschitz dans un Banach

[L.A.]

Bonjour à tous.

Je peine à démontrer un truc apparement simple puisque c'est sous forme de remarque dans mon cours... :mur:

Soit f : IxE -> E un champ de vecteurs, I int. ouvert de R et E Banach.
Montrer que f C1 => f localement Lipschitzienne en tout point (t,x)

je considère un voisinage JxB=]t0-e,t0+e[xB(x0,r) et j'applique benoîtement la formule des accroissements finis comme indiqué, pour t€J et x,y€B :
||f(t,x)-f(t,y)|| < sup [s€[0,1]] |||Df(t,y+s(x-y))||| ||x-y||
< sup[t'€J,v€B] |||Df(t',v)||| ||x-y||

Df a beau être continue, l'adhérence de B n'est pas compacte, et adieu l'espoir de borner |||Df(t,v)|||

Avez-vous des suggestions ? Merci.

[legeniedesalpages]

Salut,

je connais pas bien Cauchy-Lipschitz, mais peut être qu'on peut caser un argument dans le raisonnement du genre, pour tout l'application est linéaire continue (car est ),
donc bornée sur n'importe quelle boule.

[L.A.]

Non, sans doute une imprécision dans les notations :

Ce n'est pas x |-> Df(t,x) qui est linéaire continue, mais la différentielle en (t,x) :

Df(t,x) : (h,k) |-> Df(t,x)(h,k)

à (t,x) fixé et (h,k) dans RxE.

[legeniedesalpages]

ah oui exact, je me suis emmêlé les pinceaux :(