Bonjour,
J'ai besoin de votre aide dans cet exercice:
On considère le problème de Cauchy
= t( 1- x^2(t)),\;\; x(t_0)= x_0,\;\;\;\text{ou}\; (t_0, x_0)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R})
.
1) Montrer que le problème admet une unique solution maximale
où
est un intervalle ouvert de
contenant
.
2)On suppose que
. Déterminer la solution maximale
(faire une démonstration).
3)On suppose que
. Déterminer la solution maximale
(donner l'expression de la solution maximale sans démonstration)
4) On suppose que
et
.
a. Montrer que pour tout
\neq -1)
et
\neq 1)
(montrer uniquement que pour tout
, le fait que pour tout
\neq 1)
se démontre
de la m^eme manière).
b. Determiner la solution maximale
(discuter suivant
\in \mathbb{R}\times\mathbb{R})
).
Réponses:
Pour 1) On pose
= t( 1- x^2(t)))
, il est clair que f est de classe
dans
, en appliquant le théorème de Cuachy-Lipschitz il existe une unique solution maximale
où
est un intervalle ouvert de
contenant
.
2) Je pense que
= -1)
pour tout réel t est l'unique solution maximale de problème , et elle est globale donc
.
3) Même raisonnement,
= 1)
pour tout réel t
4) si
a) On remarque que
= -1)
est solution de
= t( 1- x^2(t)))
.Par unicité, la solution du notre problème de Cauchy ne peut donc pas égale à -1. Par suite ,
\neq -1)
pour tout
.
Même raisonnement si
b) 3 cas possibles:
premier cas: si
, alors
pour tout
deuxième cas: si
, alors
pour tout
troisieme cas:
et
, un petit calcul montre que
=th(\frac{t^2}{2} + C))
qui est définie sur
avec
 - \frac{t_0^2}{2})
C'est juste ces réponses?
Merci d'avance.
