Equation de Riccati à résoudre

par **president** » 22 Sep 2010, 14:49

Bonjour à tous,

je vous sollicite car j'essaye en vain de résoudre une équation différentielle de Riccati...

L'équation est la suivante :

y'(t)=a.y(t)^2+b.y(t)+c(t)

comme vous l'aurez compris, seul c est un coefficient non-constant.
j'ai regardé des techniques de résolution, mais a priori il faut connaître une solution particulière, or, à ma connaissance, je n'en ai pas...

Si quelqu'un pouvait m'aider :we:

en vous remerciant,

par **Ericovitchi** » 22 Sep 2010, 15:52

Dans l'absolu tu ne peux pas.
effectivement on démontre que si on a une fonction particulière solution alors on peut se ramener à une équation de bernouilli.
Sinon on sait aussi grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, que, si , les fonctions a,b,c sont des fonctions continues, alors il existe des solutions à l'équation de Riccati. mais on ne peut pas les donner explicitement.

par **JeanJ** » 22 Sep 2010, 16:15

Hello,

Les Riccati, c'est pas du tout cuit ! Sauf cas particulier qui simplifie tout...
Soit f(t) une fonction inconnue telle que :
y = -f ' /(a f ) et ça roule...

par **president** » 22 Sep 2010, 16:39

bonjour,

merci beaucoup pour vos réponses !

en effet, Rien n'est sûr avec les Riccati functions !

Alors, j'ai effectivement pris connaissance du changement de variable, avec la fameuse fonction inconnue "f(t)" que vous citez.

en introduisant ce changement de variable dans l'équation de Riccati,
j'obtiens une équation homogène du second ordre à coefficient non-constant (le fameux c(t) ).

Le problème reste le même, je ne connais pas de solution particulière pour résoudre cette nouvelle équation différentielle :

f''(t)-b f'(t)-a.c(t).f(t)=0

si vous avez des pistes? je suis preneur !! :we:

par **JeanJ** » 22 Sep 2010, 18:52

il n'y a pas besoin de solution particulière puisqu'il n'y a pas de second membre.
Donc, résolution d'une EDO du second ordre, linéaire, sans second membre (mais à coefficients non constants)

par **president** » 22 Sep 2010, 21:34

oui en effet, vous avez pleinement raison.

je vous remercie pour avoir passer du temps à me répondre .

très sincèrement.

Mickael

par **JeanJ** » 23 Sep 2010, 06:58

OK., mais ne perdez pas trop de temps à chercher une expression explicite de y(t) en fonction de c(t). En effet, c'est impossible sauf pour certaines fonctions c(t) particulières.
Si on pose y(t) = exp(b t/2) F(t), on se ramène à une forme classique :
F''/F = (b²/4)+a c(t)
et avec (b²/4)+a c(t) = C(t) qui est donc une fonction donnée, mais quelconque :
F''/F = C(t)
Il est connu que F(t) peut être explicitée pour certaines formes particulières de C(t), par exemple
si C(t) = constante, alors F(t) est de forme exponentielle ou sinusoidale
si C(t) = t^p , avec p constante, alors F(t) est du genre fonction de Bessel
si C(t) =(A/x²)+(B/x)+G avec A,B,G constantes, alors F(t) est du genre fonctions de Kummer ou apparentées,
etc. On pourait poursuivre la liste avec diverses fonctions spéciales répertoriées... Y compris un grand nombre de cas particuliers pour lesquels ces fonctions se réduisent à des fonctions de plus bas niveau...
Des fonctions spéciales ont été définies pour expliciter les solutions dans divers cas d'EDO linéaire du second ordre. Mais bien évidemment, pas pour toutes les fonctions C(t).

par **president** » 23 Sep 2010, 13:19

merci beaucoup pour votre réponse très complète.

ça me chagrine de ne pouvoir calculer une expression explicite de y(t) en fonction de c(t).

d'un point de vue pratique, je cherche à évaluer y(t) pour différentes formes de c(t) connues à priori.

Par ailleurs, est-ce que je peux dire que c(t) est une constante, étant donné que y(t) est calculée à partir d'un vecteur t discrétisé?
En d'autres termes, pour un t donné, je connais le c(t). Donc dans l'équation différentielle, ça revient à une constante. non?

par **president** » 23 Sep 2010, 14:47

suite à nos discussions, j'ai fait un changement de variable y = -f ' /(a f ) comme il a été énoncé, au sein de mon équation différentielle non linéaire initiale y'(t)=a.y(t)^2+b.y(t)+c(t).

suite à ce changement de variable, j'obtiens comme mentionné précédemment, une équation linéaire du second ordre, homogène f''(t)-b f'(t)-a.c(t).f(t)=0.

Cette équation homogène se résout en calculant d'abord le discriminant de l'équation caractéristique (équation du second ordre).

Suivant la valeur du discriminant Delta, on peut obtenir différentes formes de la solution.

étant donné que j'ai un coefficient non constant c(t), celui-ci se retrouve dans le calcul du discriminant Delta. Connaissant a priori l'intervalle de variation de ce coefficient variant c(t), je m'aperçois que le discriminant peut être positif, nul et négatif (pas de chance). Ce qui fait que suivant la valeur de ce coefficient c(t), je peux avoir trois formes de solutions de f(t).

Or, dans le cas où l'on prend par exemple le cas d'un discriminant positif, la solution de f(t) est donnée par deux termes exponentiels pondérés chacun d'un coefficient. Or, pour calculer ces coefficients, il faut avoir des valeurs initiales f(0) et f'(0). sauf que les valeurs initiales, je les ai à partir de mon équation d'origine en y(0), et non de cette nouvelle équation dont la variable f(t) est fictive.

ça fait beaucoup de choses abracadabrantes....

par **JeanJ** » 23 Sep 2010, 16:48

Par ailleurs, est-ce que je peux dire que c(t) est une constante, étant donné que y(t) est calculée à partir d'un vecteur t discrétisé?
En d'autres termes, pour un t donné, je connais le c(t). Donc dans l'équation différentielle, ça revient à une constante. non?

Pour pouvoir conseiller une méthode appropriée, il faudrait mieux connaitre le fond du problème.
Attention, si la fonction c(t) est remplacée par une série de constantes de valeurs différentes, cela veut dire qu'elle est discontinue entre chaque changement de valeur, donc non dérivable en ces points (par contre, elle reste intégrable). On ne peut pas répondre d'une façon générale, tout dépend de ce qu'on veut en faire.
Dans ces conditions, chercher à exprimer les solutions de l'équation différentielle sous forme explicite serait probablement très lourd et conduirait à des formules très compliquées pour qu'elles se raccordent bien à chaque discontinuité de c(t).
Mais voilà qu'on découvre quelque chose qui peut tout changer ! il est maintenant question de discrétisation. Généralement, cela sous-entend que l'on se place dans une perspective de calcul numérique. Si le problème est effectivement de résoudre par calcul numérique, cela devient d'une grande simplicité : les méthodes à utiliser n'ont rien à voir avec tout ce qui a été dit précédemment.

par **president** » 30 Oct 2010, 12:03

bonjour,

excusez-moi du retard pour la réponse.
en tout cas, merci pour la vôtre.

en effet, dans le cadre de calcul numérique, j'ai réussi à trouver un moyen de calculer la fonction. Mais cela se fait de manière récursive, en calculant à chaque pas de temps, la nouvelle dérivée que l'on propage au pas de temps suivant. Si le pas de temps tend vers 0, cela se ramène à un résultat provenant d'une intégration continue.

Par ailleurs, j'ai tout de même réussi à trouver une forme analytique de mon problème, en utilisant la méthode de séparation des variables, en inversant le polynôme, puis suivant le signe du discriminant, trouver une forme en arc tangente ou logarithme népérien. J'ai déjà tester la forme arc tangente qui fonctionne très bien, même si comme vous le dites , présente une forme assez lourde.

Dans tous les cas, merci beaucoup pour votre soutien.

cordialement.

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