Equation differentielle : type riccati

[jadrax]

Bonjour,

je doit résoudre
y'(t)+y(t)+y²(t)=4

je sait qu'il faut faire un changement de variable en prenant
y=u+w

d'accord mais doit on prendre
y'=u'+w'
y''=u''+w''
?
du coup rien ne se simplifie et je tombe dans l'impasse...encore une fois j'ai besoin de vos éclaircissements!
Merci

[JeanJ]

Bonjour,

citation : << je sait qu'il faut faire un changement de variable en prenant
y=u+w >>
Je ne vois vraiment pas à quoi ce changement peut servir si on ne comprend pas l'essentiel, c'est-à-dire ce que sont u(t) et w(t).
En fait, il faut d'abord trouver une solution particulière de l'équation. Puisqu'il s'agit d'un exercice scolaire, ce ne doit pas être trop difficile. En essayant des fonctions très simples, on a vite fait de voir que y(t) = 2-(1/t) est une solution de l'équation.
Désignons par u(t) cette solution particulière donc u = 2-(1/t)
Désignons par w(t) une fonction inconnue telle que y(t) = u(t) + w(t)
donc y = 2-(1/t) + w
y' = (1/t²) +w'
L'équation devient :
(1/t²+w') +(2/t)(2-(1/t)+w) + (2-(1/t)+w)² = 4
(1/t²) +w' +(4/t) -(2/t²) +2w/t +4 +(1/t²) +w² -(4/t) +4w -(2w/t) = 4
après simplification :
w' +w² +4w = 0
c'est une équation de Bernoulli dont la résolution est classique.

[jadrax]

je ne comprend pas vraiment comment tu a trouver ta solution particulière :
y(t) = 2-(1/t)
le reste effectivement je comprend la démarche.
je ne trouve pas pareil..pourrait tu m'expliquer comment tu a fait pour arriver a cette étape?

Merci

[JeanJ]

Tu ne trouve pas pareil ?
Nul n'est à l'abri d'une erreur, moi pas plus que d'autres. Il faut donc vérifier.
J'ai donné mon calcul de façon assez détaillée :
y = 2-(1/t) + w
y' = (1/t²) +w'
L'équation devient :
(1/t²+w') +(2/t)(2-(1/t)+w) + (2-(1/t)+w)² = 4
(1/t²) +w' +(4/t) -(2/t²) +2w/t +4 +(1/t²) +w² -(4/t) +4w -(2w/t) = 4
après simplification :
w' +w² +4w = 0
Voilà ce qui est écrit dans mon post précédent.
Si tu veux qu'on compare avec ton calcul et qu'on voie pourquoi on ne trouve pas pareil, il faut que tu écrives sur le forum ce que tu as fait.

[jadrax]

Bonsoir,
en partant de ta solution particulière j'arrive au bout du résultat sans problème...je trouve ma solution homogène et particulière.
Mais la ou je bloque complétement c'est pour trouver la solution particuliere (2-(1/t)), en fait je ne comprend pas comment trouver cette solution..dans mon énoncé il est dit que je doit trouver une solution en w=A/t+B
bref comment y arriver?

j'ai beau prendre y=(a/t)+b faire y' et remplacer je n'arrive a rien...bref je bloque...
Etant donner que je n'ai jamais fait de riccati, j'ai juste quelques lignes d'écrites qui m'explique succinctement comment faire...
Merci.

[Ben314]

Bonsoir,
Deux petites questions :
1) Dans l'équation de départ y'(t)+y(t)+y²(t)=4
, le coef. devant le y est-il 1/T avec T une constante ou bien 1/t où t est la variable ?
2) à quoi te conduisent tes calculs lorsque tu essaye y(t)=(a/t)+b ?
(les miens conduisent trés rapidement à la solution particulière de JeanJ...)

[jadrax]

Pour répondre a tes questions:
1) il s'agit de t variable donc 2/t
2) quand je remplace dans mon équation de départ Y:(a/2)+b puis je fait y'.. Je remplace tout dans mon équation je tombe sur un système assez gros ou par identification je trouve b:2 ou -2 et a:-1
le problème c que je ne suis pas sûre de ma méthode car j'ai b qui prend 2 valeurs et que ça ne semble pas aussi rapide que vis méthodes...

[JeanJ]

Bonjour,

S'il était indiqué dans l'énoncé qu'une solution particulière est de la forme a+b/t, c'est vraiment du travail tout maché !!!
y'(t)+(2/t)y(t)+y²(t)=4
y = a+b/t
y' = -b/t²
y'(t)+(2/t)y(t)+y²(t)= -b/t² +(2/t)(a+b/t) +(a+b/t)² = 4
-b/t² +2a/t +2b/t² +a² +2ab/t +b²/t² = 4
(b+b²)/t² +(2a+2ab)/t +a² = 4
ceci quel que soit t donc :
b+b² = 0
2a+2ab = 0
a² = 4
la première donne b=0 ou b=-1.
Si b= 0 la seconde donnerait a=0 et la troisième serait fausse. Donc b=0 est exclu.
Il reste b=1. La seconde donne a=-1 et la troisième est vérifiée.
Donc seule solution possible : a=2 et b= -1
.
Maintenant comment faire s'il n'y avait eu, dans l'énoncé du problème, aucune indication concernant la forme de la solution particulière ?
(c'est d'ailleurs ce qu'on pouvait croire, car jadrax avait oublié de recopier cette précieuse indication dans la première question posée sur le forum).
En cette absence d'indication, voilà le conseil que j'avais donné :
>
Ainsi, par tâtonnement, en essayant des fonctions simples, on arrive souvent à trouver (avec un peu de persévérance, bien sûr). Un minimum de flair ou d'intuition aide à trouver plus rapidement.
Si vraiment on n'a pas l'habitude et qu'on y arrive pas, on peut toujours avoir recours à la méthode générale de résolution des équations différentielles de Riccati. Voir par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html
Danc cet article, il s'agit de l'équation (4) et des suivantes qui donnent la méthode générale de résolution.

[Ben314]

Pour répondre à ton problème :

...je ne suis pas sûre de ma méthode car j'ai b qui prend 2 valeurs...

n'oublie pas que tu est en train de chercher une(des) solution(s) particulière(s) de l'équation de départ.
Je ne vois absolument pas en quoi le fait de trouver plusieurs solution particulières puisse poser un quelconque problème. (RAPPEL : trés trés souvent une équation différentielle admet... une infinité de solutions)