Equation différentielle particulière

par **TiMeWaLk** » 08 Juil 2009, 08:56

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre une équation différentielle un peu particulière, elle est de la forme suivante:

u'(z)=H(z)*u(z) où H(z) est une matrice de la forme:

H(z)= [0 R(z);G(z) 0]

R et G sont elles aussi des matrices.

Lorsque j'essaye de faire une méthode de Runge Kutta classique, j'obtiens quelquechose qui croit beaucoup trop. Lorsque j'utilise une méthode d'Euler, ça croit toujours trop mais moins vite.

Merci d'avance

par **ToToR_2000** » 08 Juil 2009, 15:30

Cette équation différentielle n'a qu'une seule solution (à une constante multiplicative près).
(Il faut sûrement utiliser le th. classique de Cauchy-Lipschitz pour montrer que l'espace vectoriel des solutions est de dimension 1.)
Et vu la forme de l'ED, si on oublie 2 sec que H est une matrice, la solution serait du genre

(z est une variable réelle je suppose).
Et ben là il se trouve que c'est effectivement ça la solution (l'exponentielle d'une matrice ça existe).
Après il faut intégrer et regarder les valeurs propres si tu t'intéresses à la convergence...

par **mathieuH** » 08 Juil 2009, 15:53

Bonjour,

attention, la solution de l'équation différentielle

est

uniquement dans le cas où

commute avec

pour tout

et

. Sinon, la solution ne peut pas s'expliciter avec des fonctions usuelles.

Par exemple

qui donne la fonction d'Airy.

mathieu

par **TiMeWaLk** » 09 Juil 2009, 07:03

Mes matrices ne commutent pas :(

Comment puis-je résoudre mon équation? Je ne parle pas d'une solution exacte bien entendu

par **ToToR_2000** » 09 Juil 2009, 08:27

j'ai des doutes sur ces histoires de matrices qui doivent commuter puisque l'intégrale est une somme, pas un produit et que l'exponentielle ne fait intervenir qu'un "polynôme infini" en la même matrice donc tout commute pour la multiplication évidemment

par **mathieuH** » 09 Juil 2009, 08:34

Bonjour,

en fait, le problème vient du fait que la dérivée de

n'est pas

si on n'a pas la commutabilité.

mathieu

par **mathieuH** » 09 Juil 2009, 08:35

Pour résoudre ton equation, peux tu donner R et G ?

mathieu

par **TiMeWaLk** » 09 Juil 2009, 14:54

Oui, je peux donner R et G mais c'est très compliqué à expliquer.

Pour le petite histoire: j'essaye de résoudre les équations de Maxwell dans un milieu absorbant. J'ai transformée les équations de Maxwell via les séries de fourrier, je l'ai fait pour le champ électromagnétique et la permitivité de mon milieu (non homogène)

R et G sont des matrices de coefficients de fourrier.

Prenons les dans un cas simple: le milieu est homogène, R et G seront de la forme:

% ce qui suis est écrit en code MATLAB, dites moi si ce n'est pas compréhensible

R=[Rxx Rxy;Ryx Ryy]
G[Gxx Gxy;Gyx Gyy]
Rxx, Rxy, Ryx, Ryy et les G sont des matrices tels que:

Rxx=j/(omega*epsilon0)*((n*2*pi/a).'*(m*2*pi/b).*ki);
Rxy=j/(omega*epsilon0)*((n*2*pi/a).'*(-n*2*pi/a).*ki)+j*omega*nu0*eye(nbrecoef);
Ryx=j/(omega*epsilon0)*((m*2*pi/b).'*(m*2*pi/b).*ki)-j*omega*nu0*eye(nbrecoef);
Ryy=j/(omega*epsilon0)*((m*2*pi/b).'*(-n*2*pi/a).*ki);

Gxx=-j/(omega*nu0)*(eye(nbrecoef).*((n*2*pi/a).'.*(m*2*pi/b).'*ones(1,nbrecoef)));
Gxy=j/(omega*nu0)*(eye(nbrecoef).*((n*2*pi/a).'.^2*ones(1,nbrecoef)))-j*omega*epsilon0*epsilon;
Gyx=-j/(omega*nu0)*(eye(nbrecoef).*((m*2*pi/b).'.^2*ones(1,nbrecoef)))+j*omega*epsilon0*epsilon;
Gyy=(-Gxx);

Avec j^2=-1, omega, a, b, nu0 et epsilon0 des constantes réelles
eye désigne la matrice identité de dimension nbrecoef*nbrecoef (nbrecoef=361 dans mes tests )

m=mod(0:nbrecoef-1,(19))-9;
n=((0:nbrecoef-1)-m-9)/(19)-9;

ki=(0.3996-j*0.0095)*eye(nbrecoef);
epsilon=(0.3996-j*0.0095)*eye(nbrecoef);

Voilà, je suis désolé, j'ai pas beaucoup plus clair pour mes matrices... Je pense pas que ça va aider beaucoup. Je pensais plus à une méthode générale pour résoudre des équations différentielles avec des matrices particulières.

Je précise que dans ce cas simple, H est constante mais dans tous les autres cas, ki et epsilon dépendent de z, et étant calculés via des séries de fourier, ils ont vraiment des têtes beaucoup plus horribles que ça.

Si quelqu'un peut m'aider c'est génial, parce que même avec ma matrice constante, j'obtiens des valeurs qui croient trop.

Merci d'avance,

TW

par **sky-mars** » 09 Juil 2009, 14:57

sinon tu les écrit à la main et tu scan et tu les met en ligne avec ça (autre solution si tu ne sais pas utiliser LaTeX)

Equation différentielle particulière

Equation différentielle particulière

Qui est en ligne