Equation différentielle - dimension e-v

[Pseuda]

Bonjour,

Soit l'équation différentielle : .

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation ?

(je ne suis pas d'accord avec la solution du livre)

[Ben314]

Salut,
Perso, je trouve qu'il est de dimension 1 : on résous "normalement" l'équation sur où les solutions sont de la forme où est une constante réelle et de même, sur où les solutions sont de la forme où est une constante réelle.
Quelque soit et , les deux morceaux se recollent continument en 0 (donc on a pour le moment un e.v. de dim 2), mais si on veut que le recollement soit dérivable en 0, il faut que ce qui ne fait plus qu'un e.v. de dimension 1.

Là où il peut éventuellement y avoir une certaine ambiguïté dans un cas pareil, c'est de savoir si la fonction qu'on cherche doit être ou pas dérivable en 0 vu que, lorsque x=0, l'équation ne contient plus de y'(0).
Mais j'aurais tendance à penser que, lorsque l'énoncé est incomplet (i.e. ne précise pas quelle régularité on attend pour les solutions), la convention la plus usuelle, c'est de considérer que la fonction cherché doit être dérivable sur tout le domaine de définition, y compris aux endroits où l'équation "ne contient pas" de y'(?).
Mais bon c'est au mieux une simple convention pour palier à un défaut d'énoncé donc on a tout a fait le droit de ne pas être d'accord...

[Pseuda]

Bonsoir,

MERCI Ben314 !!! Le livre donne un espace de dimension 2, car en effet ils n'ont pas considéré que la solution cherchée devait obligatoirement être dérivable sur tout son domaine de définition.

C'est vrai que l'équation est muette quant à f'(0) (je n'avais pas remarqué). Mais pensant que, par principe, on doit chercher les solutions maximales, c'est-à-dire une fonction continue et dérivable sur l'intervalle le plus grand possible, on aboutit à la solution maximale : sur , et l'ensemble des solutions est un e-v de dimension 1 (ce que j'avais trouvé).

Mais c'est vrai que si on ne cherche pas une solution maximale, on n'a pas d'obligation quant à la dérivabilité de f en 0, et l'espace des fonctions solutions est de dimension 2 :
, avec (pour x 0 ) et (pour ) et (pour ) et ( pour ), qui sont définies sur un intervalle... contenant au moins 0.

Il y a donc une ambiguïté dans l'énoncé, qui demande la dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation (maximales ou non ?).