Equation différentielle classique?

[Restefond34]

Bonsoir,

Je suis en deuxième année de CPGE (filière MP) et suis actuellement en train de travailler sur mon TIPE.
J'ai élaboré un modèle en rapport avec le sujet et le modèle le plus simple aboutit sur une équation différentielle de la sorte:

où a, b, c sont des constantes.

Je me demandais si cette équation pouvait se résoudre de manière exacte (en faisant des changements de variable bien choisis, comme lorsque parfois on pose z(e^t) pour certaines équas diffs) ou si mon seul recours était la résolution numérique à l'aide de Python.

Merci pour votre réponse et bonne soirée

[Razes]

Résous en fonction de

[Restefond34]

Bonsoir,

Vous pensez que le faire par séparation des variables pourrait marcher?
A priori, j'ai à gauche une fraction rationnelle en y... Si je la décompose en éléments simples, la primitive doit normalement suivre immédiatement...
Mais cela implique d'abord de trouver les pôles. Je sais qu'il y a une formule pour cela vu qu'on reste sur du degré 3, mais la résolution me semble assez complexe, non?
Mais à la fin, j'aurais x en fonction de y, alors que je cherche à exprimer y en fonction de x plutôt...

Ou alors il y a une manière plus simple de résoudre que je ne vois pas?

Bonne soirée!

[Razes]

Obtenir une solution explicite dépendrait des valeurs .

[Restefond34]

Merci pour votre réponse!

Si je comprends bien, c'est donc peine perdue que de chercher à avoir la "formule exacte" de y en fonction de x?

[Razes]

En tout cas, ce n'est pas une équation classique.

[Razes]

Je pense que tu peux essayer, ça va être du boulot, la première chose à faire est d'étudier les racines de l'équation , (peut être même rajouter le module résolution d'une équation du 3ème degré) je pense qu'il y a 4 cas:
a) 3 solutions réelles distinctes
b) 2 solutions réelles dont 1 double
c) 1 solution réelle triple
d) 1 solution réelle et 2 solutions complexes

Donc il faut détailler chaque cas, par exemple le cas a):

Je pense que la solution serait du type

[Restefond34]

Bonjour,

Oui c'est ce que je me disais, j'obtiendrais une équation liant y à x, mais l'expression de y ne sera pas explicite...
Tant pis^^

Merci Razes pour votre suivi en tout cas!