Raisonnement classique, par contraposition ou par l'absurde

[Harmonie]

Bonjour/Bonsoir à vous mes futurs amis matheux :ptdr:

J'ai cet exercice à résoudre, et je ne comprends pas la correction qui m'est donnée.. (ne vous moquez pas de moi, ce serait pas drôle :mur: )

Exercice 1.2.3 (OO)
Montrer que 2014 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés.

D'après le théorème des deux carrés de Fermat, dans le cas général, un entier est la somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 intervient à une puissance paire.Ca c'est la "définition" apprise par coeur mais je ne sais pas l'appliquer.. (merci PAES)
Par contre, un moyen plus simple pour savoir si un nombre est la somme de 2 carrés est d'effectuer la division euclidienne de ce nombre par 4. Si on a 1 en reste, c'est que ce nombre est la somme de 2 carrés.

Donc pour résoudre l'exercice qui m'est donné j'effectue la division de 2014 par 4, je trouve 503 avec 2 en reste. J'en conclus que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés.

Au niveau de la correction on me dit

Par l’absurde, supposons qu’on puisse écrire 2014 = n2 + m2, avec n et m dans N.
Alors en particulier 2014 = n2 + m2 [8], c’est-à-dire n2 + m2 = 6 [8].
Mais si r parcourt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, alors r2 modulo 8 prend les valeurs 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1.
En particulier n2 + m2 modulo 8 ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 4, 5.
On aboutit donc à une contradiction : 2014 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés.

Bon alors déjà je peine à comprendre ce qui est écrit..

Quand on note :

- =, que signifie ce signe ? Equivalence ? Egalité ?
- 2014 = n2 + m2 [8] que signifie le [8] ?
- Ce qui m'est le plus difficile à comprendre c'est cette phrase Mais si r parcourt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, alors r2 modulo 8 prend les valeurs 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1.

Merci d'avance... :help:

PS : vous allez me voir souvent sur ce forum, vous trouverez sans doute mes questions idiotes mais c'est pas grave :happy2:

[Sourire_banane]

Bonjour/Bonsoir à vous mes futurs amis matheux :ptdr:

J'ai cet exercice à résoudre, et je ne comprends pas la correction qui m'est donnée.. (ne vous moquez pas de moi, ce serait pas drôle :mur: )


D'après le théorème des deux carrés de Fermat, dans le cas général, un entier est la somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 intervient à une puissance paire.Ca c'est la "définition" apprise par coeur mais je ne sais pas l'appliquer.. (merci PAES)
Par contre, un moyen plus simple pour savoir si un nombre est la somme de 2 carrés est d'effectuer la division euclidienne de ce nombre par 4. Si on a 1 en reste, c'est que ce nombre est la somme de 2 carrés.

Donc pour résoudre l'exercice qui m'est donné j'effectue la division de 2014 par 4, je trouve 503 avec 2 en reste. J'en conclus que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés.

Au niveau de la correction on me dit


Bon alors déjà je peine à comprendre ce qui est écrit..

Quand on note :

- =, que signifie ce signe ? Equivalence ? Egalité ?
- 2014 = n2 + m2 [8] que signifie le [8] ?
- Ce qui m'est le plus difficile à comprendre c'est cette phrase Mais si r parcourt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, alors r2 modulo 8 prend les valeurs 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1.

Merci d'avance... :help:

PS : vous allez me voir souvent sur ce forum, vous trouverez sans doute mes questions idiotes mais c'est pas grave :happy2:

Salut,

Les triples barres sont un signe de congruence. C'est une relation d'équivalence entre deux nombres qui ont le même reste dans la division euclidienne par 8 (d'où le 8 entre crochets, c'est un formalisme). On peut aussi écrire x = y mod 8 pour dire que l'on travaille dans Z/8Z et cela voudrait alors dire qu'il existe p un entier tel que x = 8p + y.

J'ai pas compris le triangle noir...

Pour ta dernière interrogation, regarde cas par cas le reste de r1 dans la div eucl par 8.

Et puis non c'est pas grave Les questions sont rarement idiotes. Dans ton cas je te conseille d'aller lire des cours sur l'arithmétique modulaire (niveau TS spé maths). Il va falloir s'entrainer pour comprendre le formalisme.

A plus.

[Harmonie]

Bonsoir !
Merci de ta réponse on ne peut plus rapide.

Une autre question du coup, quand tu écris Z/8Z ça signifie que l'on travaille dans l'ensemble des entiers relatifs tq ]-inf;8],[8;+inf[ ? (j'ai pas fait de maths depuis 2 ans haha)

J'ai trouvé matière à lire sur l'arithmétique modulaire, je m'y atèle !
Et il n'ya pas de triangle noir dans mon message.. Enfin, je n'en vois pas, c'est à quel niveau ?

Merci encore :)

[Ben314]

Salut,
Quelques remarques :

...si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 intervient à une puissance paire.Ca c'est la "définition" apprise par coeur mais je ne sais pas l'appliquer.. (merci PAES)

Ce n'est évidement pas une définition vu que la définition, tu la donne deux lignes plus haut "être somme de deux carrés".
C'est un théorème : ça se démontre (il y a des tas de preuves plus ou moins élémentaires)

Par contre, un moyen plus simple pour savoir si un nombre est la somme de 2 carrés est d'effectuer la division euclidienne de ce nombre par 4. Si on a 1 en reste, c'est que ce nombre est la somme de 2 carrés.

Ça c'est faux : le reste de la division de 21 par 4 fait 1 et 21 ne s'écrit pas comme somme de deux carrés (si c'était vrai, le critère que tu site juste au dessus serait clairement sans aucun intérêt)
Ce qui est vrai, c'est que, si le reste de la division de N par 4 donne 3, alors on est sûr que N n'est pas somme de deux carrés, mais la réciproque est fausse (voir par exemple N=21)

Donc pour résoudre l'exercice qui m'est donné j'effectue la division de 2014 par 4, je trouve 503 avec 2 en reste. J'en conclus que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés.

Le reste de la division de N=10 par 4 donne aussi 2 et ça n'empêche pas 10 de s'écrire 3²+1².

[zygomatique]

salut

si 2014 s'écrit comme somme de carrés de deux entiers alors ces deux entiers ont même parité

or 2014 n'est pas multiple de 4 donc ces deux entiers sont impairs

donc




or p(p + 1) et q(q + 1) sont pairs


ce qui est absurde

...

:lol3:

[LA solution]

je ne parvenai pa de comprendre pourquoi la resolution se fait dans la congruence 8?
sa me rappelle de ma licence (residu quadratique)