Discontinuité classique !!

[fenecman]

Bonsoir, je me posais la question si il était possible de montrer directement que la fonction de dirichlet ( 0 si Q , 1 si R\Q) est discontinue en tout point sans passer par le "mot" Riemann intégrable ?

[ThSQ]

:hein: c'est vraiment évident qu'elle n'est continue nulle part, sans passer par Riemann (?).

Pour tout x il existe y # x et aussi près que l'on veut de x tel que |f(x)-f(y)| >= 1.

[xyz1975]

Bonjour,
Mais bien sûr.

[fenecman]

C'est la densité de Q dans R ou de R\Q dans R en fait?
Jpreferais être sûr à 100% pour cette histoire bien que trivial je vous l'accorde!...

[Babe]

C'est la densité de Q dans R ou de R\Q dans R en fait?
Jpreferais être sûr à 100% pour cette histoire bien que trivial je vous l'accorde!...

les maths ne sont qu'une suite de trivialité ... :we:

[ThSQ]

C'est la densité de Q dans R

Ouep :happy2:


Exo : la fonction de Dirichlet est-elle la limite d'une suite de fonctions continues ?

[fenecman]

Ouep :happy2:


Exo : la fonction de Dirichlet est-elle la limite d'une suite de fonctions continues ?

a oui jcrois que j'ai vu un truk à ce propos, un truk étonnant d'ailleurs. Ya un cosinus dans l'histoire avec un factoriel non?
C facilement démontrable? (je suppose que oui à moins que ce soit une question piège)

[ThSQ]

Tu penses peut-être à : ?

[fenecman]

Tu penses peut-être à : ?

Euh moi j'avais vu ça : http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html

[fenecman]

Laquelle des deux est juste alors? :we:
Je l'a trouve jolie cette formule n'empêche ! ^^

[ThSQ]

Ta formule est juste mais elle montre que est la limite d'une suite de fonctions qui sont elles-mêmes limites de fonctions continues (il y deux étapes de limites).

On peut montrer que n'est pas limites de fonctions continues.

"Ma" formule donne une suite de fonctions qui converge vers .

[fenecman]

J'ai donc deux exercices pour le prix d'un !!
Pour montrer que n'est pas limites de fonctions continues on entend limite simple ? parce que pour la limite uniforme c'est évident puisque la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue .?

[ThSQ]

limite simple ?

Bien sûr . :lol3:

[fenecman]

Est-ce que je peu avoir une petite piste de départ?
Jsuppose que c'est par l'absurde (Wouuaa ), mais que dire d'une telle fonction? K'est-ce qui peut devenir absurde?

[ThSQ]

A vrai dire je connais pas de démo vraiment élémentaire :mur:

(au bien avec un peu de Baire ou un peu de Lebesgue).

[leon1789]

Est-ce que je peu avoir une petite piste de départ?
Jsuppose que c'est par l'absurde (Wouuaa ), mais que dire d'une telle fonction? K'est-ce qui peut devenir absurde?

Pourquoi supposer que c'est par l'absurde ? ... :triste:

On démontre que si f est la limite d'une suite de fonctions continues, alors f est continue sur une partie dense de R. (On peut même exhiber une telle partie de manière concrète.)

Je croyais me souvenir (mais mes souvenirs sont du siècle dernier ! :--: ) que l'ensemble des points de discontinuité de f était au plus dénombrable... mais je dois confondre avec les limites des séries de Fourier (ou un truc comme ça)

[ThSQ]

au plus dénombrable.

Intéressant. Tu aurais une référence à proposer ?

[ThSQ]

Léon, je pense que c'est faux.

f(x) = x²*sin(1/x) est un exemple (The exemple !) de fonction ayant une dérivée pas continue.

Par translation et "retournement" on peut créer une fonction dérivable et continue partout sauf en deux points arbitraire.

On prend K l'ensemble de Cantor et on joint les extrémités des segments créés par une telle fonction (c'est un truc sthucieux que j'ai vu pour la construction d'une fonction monotone zarb). Elle est dérivable partout sauf sur K, non dénombrable.

[leon1789]

ah oui, tu as raison !

Sans aller chercher la dérivation, mais en écrivant l'ensemble de Cantor (où est une union d'intervalles comme on le pense...), on peut concevoir une fonction continue valant 1 sur et à support dans (c'est mal dit). La suite tend vers la fonction caractéristique de K...

[ThSQ]

Tu as raison aussi. J'étais parti à la recherche d'une dérivée (qui est toujours une limite simple de fonctions continues) je ne sais plus pourquoi ...

C'est marrant, c'est le fait que K est totalement discontinu qui nous donne le contrex. A méditer (de préférence en cours de français, mortel ... :hum: ).