Equation différentielle du 1er ordre

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MeollArhBard
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Equation différentielle du 1er ordre

par MeollArhBard » 26 Juin 2020, 12:05

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre l'équadiff (E):

J'ai commencé par diviser par cos(x) en supposant que cos(x) devait être différent de 0. Je vais donc avoir un point critique à traiter en pi/2 modulo 2pi.

(E) devient

L'équation homogène est:


Je suppose une solution particulière de la forme:
En dérivant cette solution, puis en l'injectant dans (E), je trouve la forme suivante, après regroupement:


Je bloque ici. Je n'arrive pas à déterminer les valeurs de A et B même s'il est tentant de considérer que B = x en raison de la forme Btan(x). J'ai donc dû faire une erreur quelque part. Je ne vois pas où.

Merci d'avance pour votre aide.



Black Jack
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par Black Jack » 26 Juin 2020, 12:59

Salut,
Solutions de : y'.cos(x) + y.sin(x) = 0
y'/y = -cos(x)/sin(x)
dy/y = -cos(x)/sin(x) dx
ln|y| = ln(k.cos(x))
y = k.cos(x)

Sol particulière de y'.cos(x) + y.sin(x) = cos(x) + x.sin(x)
y = x (cela, devrait sauter au yeux ... avec un rien d'observation)

Solutions générales de y'.cos(x) + y.sin(x) = cos(x) + x.sin(x)
y = k.cos(x) + x

Il reste à montrer que c'est OK quel que soit x dans R ... en remettant y = k.cos(x) + x dans y'.cos(x) + y.sin(x) et voir que cela donne bien cos(x) + x.sin(x) pour tout x de R.

MeollArhBard
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par MeollArhBard » 28 Juin 2020, 11:22

Merci pour cette aide. Effectivement, c'était évident après observation...

Par contre, je suis embêté avec le recollement en . J'ai calculé la limite quand x tend vers pi/2 de . Je tombe évidemment sur pi/2.
L'idée, c'est de partir sur un prolongement par continuité mais je bloque là-dessus.

Black Jack
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par Black Jack » 28 Juin 2020, 12:37

Salut,

Les maths ne sont pas mon domaine ... je ne m'en sers que comme outil pour des calculs en physique et j'ai parfois du mal à saisir ce qui inquiète les matheux dans des cas que je pense évidents.

Il y a sur ce site de bon matheux qui pourront peut-être t'en dire d'avantage.

Les solutions générales y = k.cos(x) + x ont étés établies dans un premier temps avec les restrictions : x diff de k.Pi (à cause de la ligne : y'/y = -cos(x)/sin(x) et x diff de Pi/2 + k.Pi à cause de la ligne ln|y| = ln(k.cos(x))

Il faut donc voir si on peut trouver k pour que les solutions y = k.cos(x) + x soient valables sur R.

Avec f(x) = k.cos(x) + x, f est continu sur R ... et on peut aussi vérifier que f(x) = k.cos(x) + x convient aussi comme solutions de l'équation y'.cos(x) + y.sin(x) = cos(x) + x.sin(x) et ceci sur R et quelle que soit la valeur réelle de k.
En effet : y = k.cos(x) + x, (en supposant x dans R)
y' = -k.sin(x) + 1

y'.cos(x) + y.sin(x)
= ( -k.sin(x) + 1).cos(x) + (k.cos(x) + x).sin(x)
= -k.sin(x).cos(x) + cos(x) + (k.cos(x).sin(x) + x.sin(x)
= cos(x) + x.sin(x) ... et ceci sans la moindre restriction concernant les valeur de x.

Donc y = k.cos(x) + x est solution sur R de y'.cos(x) + y.sin(x) = cos(x) + x.sin(x) et ceci quelle que soit la valeur réelle de k.

Je ne pense pas qu'il faille en faire plus ... Ce qui ne signifie pas qu'on ne peut pas faire autrement.

8-)

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Ben314
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par Ben314 » 28 Juin 2020, 14:16

Salut,
Une équation différentielle, ça se résout sur un intervalle (*) et pour pouvoir diviser l'équation homogène par , ce dernier doit être non nul, c'est à dire .
Donc on résout en fait sur un (quelconque) des intervalle .
Et sur cet intervalle là, après calculs, les solutions de l'équation différentielle (avec second membre) sont effectivement les fonctions de la forme est une "constante".
Sauf que si on écrit ça tel quel, ben on va droit dans le mur, vu que le fait que soit une "constante", ce que ça signifie, c'est qu'il ne dépend pas de , mais par contre il peut évidement dépendre de : il n'y a pas la moindre raison que la constante soit la même sur chacun des intervalles.
Bref, ce qu'il faut écrire, c'est que les solutions sur l'intervalle c'est les fonctions de la forme est indépendant de mais dépend à priori de .

Ensuite on se pose la question du recollement des solutions et pour donner un exemple concret de la problématique, je te propose ça (et tu fera toi même le cas général) :
On considère la fonction définie sur par .
Cette fonction vérifie évidement l'équation différentielle sur D (qui n'est pas un intervalle), mais,
- Est-elle prolongeable (par continuité) en ?
- Si oui, le prolongement est-il dérivable en ?
- Si oui, le prolongement vérifie-t-il l'équation différentielle en ?

(*) Et ça provient bêtement du fait que le résultat qu'on utilise à longueur de temps, à savoir celui qui dit qu'une fonction dérivable de dérivée partout nulle est forcément constante, ben ce résultat n'est évidement valable QUE sur un intervalle : la fonction définie sur D=R\{0} par f(x)=0 si x<0 et f(x)=1 si x>0 et dérivable sur D, de dérivée partout nulle mais n'est pas constante sur D.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MeollArhBard
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par MeollArhBard » 29 Juin 2020, 09:48

Merci pour toute ces explications, elles me sont très utiles.

Justement, j'avais commencé à travailler sur un exemple. Je prends le tien, Ben314.
Je cherche à savoir si f est prolongeable pour
Je calcule la limite quand x tend vers de et je trouve .

Le prolongement est-il dérivable en ?

Je calcule . Je tombe sur une forme indéterminée. J'ai essayé de manipuler la fraction afin de lever l'indétermination. Je n'ai rien trouvé de mieux que d'utiliser le théorème de L'Hôpital.
En utilisant ce théorème, je calcule: . La limite de la dérivation en est -2. Donc le prolongement est dérivable en .

le prolongement vérifie-t-il l'équation différentielle en ?

J'ai: si
Je cherche à vérifier quand
Là, ça ne va pas. Je pense que je me suis trompé quelque part...

MeollArhBard
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par MeollArhBard » 29 Juin 2020, 10:38

Je me suis précipité. Je ne pense pas mettre trompé. En effet, quand on remplace x par , on tombe bien sur car .

Si je prends maintenant le cas général, je trouve que le prolongement par continuité en vaut .
Le prolongement est dérivable en et vaut . Je suis à nouveau passé par la règle de l'Hôpital.
Le prolongement vérifie bien l'équation différentielle pour les mêmes raisons que celles que j'ai avancées au début de ce message.

Mon raisonnement est-il correct ?
Merci d'avance.

Black Jack
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par Black Jack » 29 Juin 2020, 10:45

Bonjour,

f(x) = k1.cos(x) + x sur ]-Pi/2 ; Pi/2[
f(x) = k2.cos(x) + x sur ]Pi/2 ; 3Pi/2[

f'(x) = -k1.sin(x) + 1 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[
f'(x) = -k2.sin(x) + 1 sur ]Pi/2 ; 3Pi/2[

lim(x--> Pi/2-) f'(x) = -k1 + 1
lim(x--> Pi/2+) f'(x) = -k2 + 1

Le prolongement de f n'est dérivable en Pi/2 que si k1 = k2

Si k1 est différent de k2, la dérivée de f à gauche de Pi/2 est différente de la dérivée à droite de Pi/2 et donc le prolongement de f en Pi/2 n'est pas dérivable en Pi/2

...

8-)

tournesol
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Re: Equation différentielle du 1er ordre

par tournesol » 29 Juin 2020, 14:30

Ce qui te donne à postériori raison:
Les solutions définies sur sont les fonctions de la forme

 

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